摘要：本论文主要探讨了分形几何中两个方面的不足：完备度量空间中自相似集的bippschitz嵌入,以及Cantor乘积集的最优集.两个集合之间的bippschitz嵌入不足,事实上是在探讨一个集合与另一集合的子集之间的bippschitz等价性.分形集的bippschitz等价性不足,属于”分形对象的分类”这个探讨范畴,是分形几何探讨的中心不足.这是一个非常重要的不足,但即使是对满足强分离条件的自相似集,这个不足也复杂而困难.对于完备度量空间中的满足强分离条件的自相似集,我们证明其与欧氏空间中某个满足强分离条件的自相似集bippschitz等价.故而,对满足强分离条件的自相似集的bippschitz等价探讨,只讨论其在欧氏空间中的情形即可.对于完备度量空间中自相似集的bippschitz嵌入不足,我们得到的主要结论是：满足强分离条件的自相似集一定能够bippschitz嵌入至任意一个更高维自相似集中；两个相同维数的满足强分离条件的自相似集之间有着bippschitz嵌入映射,当且仅当它们是bippschitz等价的.为了证明这两个结论,我们引入并定义了s-结构集这个新的概念,证明了包括满足强分离条件的自相似集在内的一些典型分形集具有s-结构.再以Alhfors-Did正规集为“桥梁”,建立了s-结构集与更高维自相似集之间的bippschitz嵌入映射.计算Cantor乘积集C×C的Hausdorff测度,长期以来,都是一个很困难的不足,这里C是经典的三分Cantor集.众所周知对满足强分离条件的自相似集,确定其Hausdorff测度等价于确定其最优集.本论文对C×C的最优集进行了系统的探讨,包括：它们的直径,测度,对称性,以及形状和结构.为此,我们引入并利用了一系列的策略与工具：排斥原理,二分图G,以及W-函数.以而,证明了最优集B的直径介于1.2993与1.3082之间.同时,我们还得到对C×C的Hausdorff测度的一个迄今为止最好的估计.并且,得到了B的两个对称性质.最后,我们证明了B的形状非常接近于一个圆盘.我们猜测最优集可以是一个圆盘.关键词：分形论文自相似集论文bippschitz嵌入论文Hausdorff测度论文最优集论文
摘要4-5
Abstract5-9
第1章 引言9-18
1.1 紧度量空间中的自相似集的bippschitz嵌入11-14
1.2 Cantor乘积集的Hausdorff测度与最优集14-17
1.3 本论文的结构17-18
第2章 s-结构集与bippschitz映射18-34
2.1 分形几何的若干基础18-21
2.1.1 Hausdorff测度与维数18-19
2.1.2 有限词19
2.1.3 自共形集19-20
2.1.4 有向图集20
2.1.5 奇次Moran集20-21
2.2 完备度量空间中满足强分离条件的自相似集21-23
2.3 s-正规集与s-结构集23-31
2.4 Alhfors-Did正规集与bippschitz映射31-34
第3章 度量空间中自相似集的bippschitz等价34-58
3.1 引言和主要结论34-36
3.2 不同维自相似集间的bippschitz嵌入36-37
3.3 同维自相似集间的bippschitz嵌入37-55
3.3.1 限制定义空间至欧氏空间37-38
3.3.2 符号系统38-40
3.3.3 好拷贝与Bippschitz像40-41
3.3.4 证明的主要思想41-43
3.3.5 定理3.5的证明43-55
3.4 bippschitz嵌入的不有着性55-58
第4章 Cantor乘积集的最优集58-77
4.1 Cantor乘积集的Hausdorff测度与最优集58-64
4.1.1 Cantor乘积集59-60
4.1.2 主要策略与结论60-64
4.2 H~s(C×C)的上界64-66
4.3 排斥对与直径膨胀66-69
4.4 估计┃B┃：Hungarian算法的运用69-72
4.5 最优集的对称性72-73
4.6 定理4.6 的证明73-77
第5章 结论77-79
本站原创