试谈函数奇偶性教学设计

函数奇偶性是研究函数的一个重要策略，因此成为函数的重要性质之一，它的研究为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起到了铺垫作用.奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育都起到非常重要的作用，因此本节课充满数学策略论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现.

一、教学目标

（一）通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象概括能力.
（二）理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性.
（三）在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的.

二、任务分析

这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y=kx，反比例函数，（k≠0），二次函数y=ax■，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，便于学生理解.在引入概念时始终结合具体函数的图像，增强直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔.对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于有定义域奇函数y=f（x），一定有f（0）=0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f（x）=0，x∈R.在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念——非奇非偶函数.关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想的效果.

三、教学设计

(一)理由情景

1.观察如下两图（图略），深思并讨论以下理由：

（1）这两个函数图像有什么共同特征？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
可以看到两个函数的图像都关于y轴对称.从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同.
2.观察函数f（x）=x和f（x）=的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征.
可以看到两个函数的图像都关于原点对称.函数图像的这个特征，反映在剖析式上就是：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（-x）=-f（x）.此时，称函数y=f（x）为奇函数.

(二)建立模型

由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义.

1.奇、偶函数的定义.

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.

2.提出理由，组织学生讨论.

（1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（-2）=f（2），那么f（x）是偶函数吗？
（f（x）不一定是偶函数）
（2）奇、偶函数的图像有什么特征？
（奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）
（3）奇、偶函数的定义域有什么特征？
（奇、偶函数的定义域关于原点对称）

(三)解释应用

[例题]

1.判断下列函数的奇偶性.

注：①规范解题格式；②对于（5）要注意定义域x∈（-1，1].
2.已知：定义在R上的函数f（x）是奇函数，当x>0时，f（x）=x（1+x），求f（x）的表达式.
解：（1）任取x<0，则-x>0，∴f（-x）=-x（1-x），而f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=x（1-x）.
（2）当x=0时，f（-0）=-f（0），∴f（0）=-f（0），故f（0）=0.
3.已知：函数f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，判断f（x）在（0，+∞）内是增函数，还是减函数，并证明你的结论.
解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f（x）在（0，+∞）内是增函数，证明如下：
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数.
深思：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？
[练习]
1.已知：函数f（x）是奇函数，在[a，b]函数的奇偶性教学设计论文资料由论文网www.udooo.com提供,转载请保留地址.上是增函数（b>a>0），问f（x）在[-b，-a]上的单调性如何.
4.设f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，并且f（x）+g（x）=x（x+1），求f（x），g（x）的剖析式.

(四)拓展延伸

1.有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？

2.设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：

（1）F（x）=f（x）·g（x）的奇偶性.
（2）G（x）=|f（x）|+g（x）的奇偶性.

3.已知a∈R，f（x）=a-，试确定a的值，使f（x）是奇函数.

4.一个定义在R上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？