关于谈数学教学中逆向思维能力培养

数学是思维的体操，思维是智力的核心。逆向思维是数学的一个重要法则，其特点表现在：善于从不同的立场、不同的角度、不同的侧面去进行探索，当某一思路出现阻碍时，能够迅速地转移到另一种思路上去，从而使理由得到顺利解决。

一、学生逆向思维受阻的因素

1.从教学形式看，最主要是教师在数学课的教学中，往往采用“建立定理——证明定理——运用定理”这三部曲或采用“类型+策略”的教学模式，忽视了逆向思维的培养与训练，以致学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维。
2.从思维过程看，由正向思维转到逆向思维是思维方向的重建，是从一个方面作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想。这种转化给学生带来了一定的困难，另外，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向思维的训练并不代替逆向思维的训练。
3.从思维能力看，学生在解答数学理由时的思维单单从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化，学生在解答数学理由时思维必定受到传统的教学策略的约束；只具有机械的记忆和被动的模仿，思维往往会固定在教师设计的框框之内的一种定势。

二、逆向思维受阻的具体表现

1.缺乏显而易见的逆向联想

由于学生在学习过程中，进行了较多的是由此及彼的单向训练，而忽视了逆向联想，这就造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的单向定势习惯。例：“1，0，-1的立方根分别是 ”，学生回答得非常轻松，也非常正确；但对“若某个数的立方根是它的本身，则这个数是 ”，这一理由，却只有少数学生才能填写完全的。像这些显而易见的逆向理由，在教学中常常遇到，学生解答起来却并不顺利。

2.混淆重要定理的正逆命题关系

对于运用正逆关系的数学命题，学生经常混淆题设与结论的顺序。
例：勾股定理的逆定理的运用，“在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由。”学生认为运用的是勾股定理，理由是“∵AC2+BC2=AB2，∴52+122=132，∴△ABC是直角三角形。”其实有“AC2+BC2=AB2”，已经说明△ABC是直角三角形了，还要“52+122=132”，干什么呢？

3.忽视正与逆转化的限制条件

例：已知a+b，则│a│=│b│推出“a=b”就不建全面了，遗漏了另一种情况“a=-b”。特别是对一些限制条件的逆求，学生更是束手无策，如：当a 时，│a- │=-2a；若 =1-x，则x的取值范围是 ；使 成立的条件是 ；等等。

4.缺乏逆向变形的解决能力

例：计算 ，有些学生竟然对它进行通分，却不会用 的变形。

5.缺乏逆向分析的解题思路

学生在分析理由时只习惯于从条件到结论，却不会从结论出发去寻求解题思路，缺乏双向思维解决理由的能力。
例：已知：在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：BC2=2AC×CD的“BD⊥AC”条件联想到可以用勾股定理。有此想法的学生很少，完全做正确的学生更少。

三、逆向思维训练在数学中的具体实施

1.定义教学中逆向思维的训练

作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑理由的良好习惯。如：在几何教学中，特别是入门阶段，对每一个定义，都要引导学生分清正与逆的关系，对今后推理论证的教学很有裨益。值得注意的是教师在平时教学中，经常强调一个定理的逆命题不一定成立，在讲定义时，如不强调它一定具有可逆性，将会引起学生对定义的逆用产生怀疑。
例：解方程： 。
分析：此题容易想到用一元二次方程的求根公式，但计算繁琐，如注意到方程中各项系数之和“a+b+c=0”的特点，就可以逆用方程根的定义，可知“x=1”是方程的一个根，再根据韦达定理求出另一个根。

2.公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式总是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯。事实上，若能够灵活地逆用公式，再解题时就能够得心应手，左右逢源。在此应特别注意两点：
第

一、强调公式的顺用和逆用，“聚合”和“展开”。

第

二、逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段。

3.运算法则教学中逆向思维的训练

数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如：加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系。而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念减法可以转化为加法，利用倒数的概念可以转化为乘法。
例：已知：xm=3，xn=7，求：x3m-2n的值。
分析：该题将同底数幂除法法则逆用后得到结果。
解：原式：x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72= 。

4.定理教学中逆向思维的训练

不是所有的的定理的逆命题都是正确的，谈数学教学中逆向思维能力的培养论文资料由论文网www.udooo.com提供,转载请保留地址.引导学生探究定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探索新的知识。
一元二次方程根的判别式定理、韦达定理的逆定理都是存在的，应用也十分广泛。
a2-bc-8a+7=0
例：设a、b、c满足
b2+c2+2ac-a2+2a-1=0
求：a的值范围。
根据韦达定理的逆定理可知：b、c为关于x的一元二次方程x2±（a-1）x+a2-8a+7=0的根，
∵△（a-1）2-4（a2-8a+7）=-3（a-1）（a-9）≥0，即1≤a≤9。∴a的取值范围为：1≤a≤9。

四、逆向思维训练的实施策略

在数学教学的过程中，经常会遇到这样一些理由，当从正面考虑时会出现很多障碍，或者根本解决不了，而从反面着手，往往可以使理由迎刃而解，再或者证明理由的不可能性等等都需要有非常规思路去解决。非常规地实施逆向思维的训练常采用以下二种策略：

1.“正”难则“反”：

反证法是一种逆向思维的策略，被誉为“数学家最精良的武器之一”，是解数学题常用的策略。当题目出现有“至少”或“至多”字样，或以否定形式给出时，一般采用反证法。
例：若三个关于x的方程：x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少有一个方程有实数根，求：m的取值范围。
分析：若从正向考虑“三个关于x的方程中至少有一个方程有实数根”，情况较多，一一讨论，解题就相当复杂。这时如果应用逆向思维，考虑到其它反面是“三个方程都没有实数要根”，再从全体实数中排除反面求得的的结论就得到本题的答案。
解：检测设三个方程均没有实数根，则
16m2-4（-4m+3）<0
（m-1）2-4m2<0
4m2+8m<0
- 即： m> 或m<-1
-2∴其反面：当m≤- 或m≥-1时，原命题成立。

2.反“客”为“主”

例：已知：关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0，有且只有一个实数根，求：实数a的取值范围。
分析：按常规思路，把x相关论文由www.udooo.com收集当成主元，求出x，再对a进行讨论，解题过程相当复杂，如果启发学生运用逆向思维，把a当作主元，这种反客为主的技巧很新颖别致。
解：原方程可变为：a2-（x2+2x）+x3-1=0
[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0
解得：x=a+1或x2+x+1-a=0
∵原方程有且只有一个实数根，
∴方程x2+x+1-a=0无实数根，
∴△=1-4（1-a）<0，解得：a< 。
实践证明，在教学中关注学生的逆向思维的训练，不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题策略的刻板和僵化，以及不善于在新条件下独立发现新策略、新结论等不足之处。