本站原创【关 键 词】实用性思维；数学素养
1005-5843（2013）01-0137-04
European Science Math Project是一项高校与中小学之间的合作项目，其数学观是数学是关于模式的科学；其理想是实现科学与数学教育的整合；其数学素养观是数学素养的核心意味着一种以实用、灵活、可操作的方式将数学知识应用到各种各样与文本相关的问题中的能力。参与国家有丹麦、芬兰、斯洛文尼亚、德国等欧洲国家。本文欲介绍的教学案例源于德国Schwabisc Sch-
wabison Gmund教育学院通过在德国的初中将科学性的主题整合到数学课堂中，研制并实施的2类课程，在全部课程系列中要求现象与模式紧密联系，实验结果表明：科学活动及其与现实世界的联系能为口头争论奠定良好的基础。本文对其中的一些教学案例进行剖析，以期发现对我国基础教育数学素养的教学所带来的一些启发。
一、数学素养
目前，普遍认可PISA中对数学素养的界定，即“数学素养是个体作为有创新精神、关心他人和具有反思性的公民应该具有的数学能力。这种能力包括：识别和理解数学在现实世界中的作用；能运用数学做出决策；能为满足个人生活需要而使用和从事数学”。素养一词的使用，说明传统学校数学课程中的基本数学知识与基本数学技能已不能满足数学教育的基础。为此，我国2012年小学数学新课程标准中与时俱进地将原来的“双基”改为四基，即“基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。[3]而数学素养的养成与提升需要一种学习环境，这种学习环境既能促进学生的认知，又允许学生联系现实世界积累操作性经验，这样的活动可以实现科学与数学教育的整合。比如，“数学建模在自然科学教学中就占据很大的空间。”[4]由此可见，数学素养的核心意味着一种以实用、灵活、可操作的方式将数学知识应用到各种各样与文本相关的问题中的能力，这一观点正是European Science Math Project的数学素养观，这里的数学知识包括正式知识（formal knowledge）和应用性知识（applicable knowledge），前者是一种使用简单的数学结构和模式的能力，后者是一种能灵活应用数学概念与结构的能力，两者结合起来可形成一种处理和理解未知情景的能力。二、数学素养与实用性思维
数学素养的养成离不开实用性数学知识，及对应的实用性思维自然成为数学素养的重要成分之一。实用性思维是一种以问题为导向的方式，是在应用数学的领域中使用认知性知识的能力，这种能力既是一种使用代数方程结论的能力，又是一种在日常生活领域需要理解图像或图表的能力。从实用性思维领域看数学素养的养成，则会发现我们始终穿越在两大密切联系的问题域中，如下所示：1. 问题域之一：过于单一的教学。实用性思维隐含着多方面的能力，例如在函数的教学中，必须让学生理解函数的各种语言表现形式，如图像、文字表达、字母符号表达、图表等，以及它们之间的转换。在这种意义之下，数学教学实质上是数学语言的教学。另外，还需以一种适合问题解决的方式去理解实用性，一旦生效，学生就会视之为典型观点（也因此称之为行为层）、有活力的动态过程（过程层），甚至视为一种通过操作可实现的个人目标（目标层），下图是实用性思维的一个三维模型：[5]
图1：实用性思维模型
传统讲解式教学法下的函数只是一些静态的结构，其动态特征得不到充分的理解。此外，在这种静态功用概念的教学中，字母符号语言与函数的分析成为其核心内容，这种片面的观点作为函数课堂教学的一种新问题，在新数学运动之后学术界一直讨论着。按图1的观点，传统教学只强调行动层面的最右边一栏，即推算、画曲线、建立坐标、模型描述等，可以说只是对函数的代数说明而已，久而久之，在应用数学领域中形成的解决问题能力就会产生缺陷，因此那些非代数能力，尤其是识图与理解图的能力就不会得到很好的发展。
2. 问题域之二：孤岛问题。过于单一教学的问题不仅缺乏问题解决能力的形成，也会导致数学与日常生活的脱节。学生经验中的数学是没有实际用处的数学，即使是有用的，在教学中也是那么的挢揉造作，相应的教学方法显然是不恰当的，这种问题现象称之为“孤岛问题”。在正规数学与现实明显分离的教学中“孤岛问题”就会出现。这两者有明显的区别，前者是数学的功用，后者是经验的功用，前者用代数术语下定义，后者是用来描述日常生活情境的。就数学教学方面，国际学生比较研究表明，许多国家未能成功地解决“孤岛问题”。例如，德国的学生在TIMSS和PISA测试中，在解决理论性知识方面表现突出，在解决或理解陌生情景下的任务时就表现很差。当在各种主题中必须用到灵活性的知识时，或在某个主题中同时需要各方面的知识时，“孤岛问题”就出现了。面对陌生的词语，比如面对一篇生疏的文本中使用的特定词语时，明显很吃力。这种问题同样在中国也普遍存在。欧洲科学数学项目在TIMSS和PISA研究之前为解决“孤岛问题”曾做出了很大的努力，
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提出了各种实践性的建议与有效的方法。诸如，在现实情境中挖掘问题、吸收综合课程的一些教学方法或思想以及让学生经历真实的经验等。下面的案例是最近的一些研究成果。三、来自欧洲科学数学项目成果的案例
大多数日常生活情境都能引出一个模型或模式问题，反之，多数建模活动也能引入数学领域。欧洲科学数学项目就将其目标定位于此，旨在汇编已被证实的教学材料，并利用网络作为一个公共的平台，力图推广到整个欧洲甚至全世界。1. 案例系列之一：专业术语功能的引导。本案例系列的一个基本理念是：在教师介绍术语的基本特征之前，允许学生自己发现和描述经历过的测量活动及其之间的实用性联系。这样，学生就有机会自己去发现和描述所学术语的标准特征，而教师则只需“收获”结果而已，检测如需要的话，教师可以使用准确的技术术语。当前的教学因此需要分为2步。学前准备的知识是要知道如何将实验结果所得到的数据进行列表，并在直角坐标系中描点。这项实验是在德国一所语法学校，年龄约13岁的31名7年级学生完成的。
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