本站原创摘要： 复变函数是理工科的重要基础课程，解析函数是复变函数课程中最重要的内容之一.本文从不同的方面分析了解析函数的教学特点，讨论了判别函数是否解析的五种方法，并举例进行了说明.
关键词： 复变函数解析函数教法
《复变函数》是高等学校理工科学生的专业必修课，在建设应用型本科高校的背景下，由于复变函数的广泛应用性，这门课程正在被越来越多的高校重视.如何才能教好复变函数课程，已经是摆在教师面前的一个重要课题.我就复变函数中解析函数的教学方法提出自己的看法.
解析函数是复变函数课程中的重要内容，也是学生学习复变函数课程的难点，对解析函数的准确理解有利于学生更好地掌握复变函数的特点.本文重点围绕解析函数的几种等价判别方法，分析解析函数的教学.
1.按照定义理解解析函数
如果复变函数w=f（z）在点z■及z■的某邻域内可导，则称w=f（z）在点z■解析；如果w=f（z）在区域D内每一点都解析，则称w=f（z）在区域D内处处解析.
根据解析函数的定义我们可以知道解析函数与可导函数很类似，但又不完全一样，如果函数在某点解析，那么函数在该点一定是可导的；反过来却不一定成立.从直观上来看，解析函数是一个整体性的概念，可导函数是一个局部性概念，与可导函数相比，解析函数要求更高一些.还要指出的是：对一个区域而言，函数在区域内可导与解析是完全一样的，主要原因在于区域是连通的开集.
教师在教学过程中应该重点讨论函数f（z）=z，g（z）=■和h（z）=|z|■的解析性和可导性，比较它们的不同，通过定义我们可以知道函数f（z）=z在整个复平面上处处解析也处处可导，函数g（z）=■在整个复平面处处不解析也处处不可导，但是函数h（z）=|z|■在z=0可导但不解析，主要原因在于函数h（z）在z=0任一邻域内都有不可导的点，不能满足解析函数的定义.
2.根据柯西—黎曼方程理解解析函数
按照文献中的定理，复变函数f
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（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件为：（1）u■，u■，v■，v■在D内连续；（2）在D内有u■=v■且u■=-v■.
其中第二条称为柯西—黎曼方程，该定理为我们提供了一种判别复变函数是否解析的方法，对于一个区域内的复变函数只要满足上面条件，就可以说明它是解析的；反过来，解析的复变函数也一定满足上面两条结论.实际上，该定理也可以看成是解析函数的等价定义.
需要指出的是，对于常见的初等函数，如三角函数、对数函数和指数函数等，它们的解析性都是通过上面定理证明.比如对于指数函数f（z）=e■=e■cosx+ie■sinx，经过简单计算可知它的实部和虚部对所有的点都是满足上面两条结论的，因此指数函数在整个复平面上都解析，最后为了方便应用，只要记住这些初等函数在什么的范围解析就可以了.关于初等函数的详细讨论可以参考文献（3）—（4）.下面举例说明如何应用该性质分析复变函数的解析性.
例1：讨论函数f（z）=x■+iy■的解析性.
解：因为函数的实部和虚部分别为u（x，y）=x■，v（x，y）=y■，所以u■=2x，u■=0，v■=0，v■=2y.
从而u■=0=-v■，要u■=2x=v■=2y，必须y=x，故仅在直线y=x上柯西—黎曼方程成立，从而函数f（z）=x■+iy■仅在直线y=x上可微，但在整个z平面上处处不解析.
3.通过柯西积分定理和摩勒拉（Morera）定理理解解析函数
柯西积分定理：如果函数f（z）在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条简单闭曲线，则？蘩■f（z）dz=0.
摩勒拉（Morera）定理：如果函数f（z）在单连通区域D内连续，且对D内任一条简单闭曲线C有？蘩■f（z）dz=0，则f（z）在D内解析.
这两个定理主要通过积分形式判别函数是否解析，虽然柯西积分定理的证明比较麻烦，但是该定理的应用十分广泛，可以极大地简化积分计算，比如应用该定理计算积分？蘩■z■sin■ze■dz时，可以利用函数f（z）=z■sin■ze■在整个复平面上解析的特征判断它的积分的值为0，教师在教学过程中应该与高等数学上的微积分基本定理进行比较，说明该定理在复变函数中的重要性.需要注意的是，当判断函数在某区域内是否解析时，人们很少去用该定理判断，主要原因在于任意闭曲线在实际计算中很难表示.
4.通过共轭调和函数理解解析函数
根据文献共轭调和函数的概念可知，复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件为：在区域D内v（x，y）是u（x，y）的共轭调和函数.需要注意的是，利用该性质不仅可以判断函数的解析性，而且可以构造解析函数.下面我们举例说明解析函数的构造问题.
例2：已知二元函数u（x，y）=x■+xy-y■，能否构造出解析函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y），如果能，请写出函数f（z）的具体形式.
解：对函数u（x，y）求偏导数可得：
u■=2x+y，u■=x-2y，u■=2，u■=-2.
故u■+u■=2-2=0，从而函数u（x，y）在整个z平面上为调和函数，于是利用上面性质，可以判断所求的解析函数f（z）必定存在.下面求该函数的具体值，利用柯西—黎曼方程可得v■=-u■=2y-x，v■=u■=2x+y，从而对函数二元函数v（x，y）微分可得，
dv=v■dx+v■dy=（2y-x）dx+（2x+y）dy
=（2ydx+2xdy）+（-xdx+ydy）
=d（2xy）+d（■（y■-x■））
=d（2xy+■y■-■x■）
所以函数v（x，y）=2xy+■y■-■x■+C（C为任意常数），函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在整个复平面上解析.
解析函数与调和函数具有很多类似的性质，对于解析函数我们有柯西积分公式；而对于调和函数，有与柯西积分公式相似的泊松（Poisson）积分公式.解析函数有平均值定理和极值定理；而调和函数也有类似的结果.通过调和函数去分析解析函数，能够帮助学生更好地掌握解析函数的性质.
调和分析是一种极为复杂的数学分析理论，大部分复变函数书都只是对该方面进行简单介绍，关于该理论的详细情况，教师可以指导学生查看其他书目.
5.通过级数理论理解解析函数
级数也是研究解析函数的一个重要工具，把解析函数表示成级数不仅有理论意义，而且也有重要的实际意义.文献中指出了，函数f（z）在区域D内解析的充要条件是：f（z）在区域D内任一点a可以展成z-a的泰勒级数.
利用泰勒定理，我们得到了级数与解析函数的关系，从而可以通过分析级数的性质去理解解析函数的概念.对于幂级数而言，只要求出其收敛半径，就可以断定它的和函数在收敛圆内处处解析.