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摘要：
针对一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题，提出了一种四阶高分辨率熵相容算法。新算法时间方向采用半离散方式，空间方向应用四阶中心加权基本无振荡（CWENO）重构方法，数值通量引入Iail通量函数，将新的四阶算法应用于静态激波问题、激波管问题以及强稀疏波问题的数值求解中，并将所得结果同准确解以及已有算法所得结果进行了分析与比较。数值结果表明：新算法计算结果正确、分辨率高，能够准确捕捉激波及稀疏波，并能有效避免膨胀激波的产生。新算法适用于准确解决一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题。
关键词： 双曲守恒律方程；半离散方法；四阶格式；优化龙格库塔法
：A
Tadmor首次提出了熵守恒数值求解格式，但这种算法只能用于求解连续性问题，在处理间断问题时会因为总熵不耗散而出现严重的数值振荡。Tadmor[3]还提出了熵稳定算法，该算法可以用于连续问题与间断问题的数值求解，但该算法在捕捉激波与接触间断时不够精确（总熵不能恰当耗散达到熵相容）。Iail等[4-8]基于能够准确捕捉间断的Roe算法，从物理概念本身出发，构造出相应的熵相容算法，通过参数调节，实现对若干问题的准确求解。为叙述问题的方便，本文称该类算法为Iail熵相容算法。该类算法保留了原有Roe算法准确捕捉间断的优势，且避免了Roe算法在解决强稀疏波问题时出现的膨胀激波现象以及求解二维Euler方程组问题时出现的“红斑”现象。但该类算法在空间方向只有一阶精度，分辨率低。
鉴于此，作者在文献[9]中引入三阶中心基本无振荡（Central Weighted Essentially NonOscillatory， CWENO）型重构法[10]将Iail熵相容算法的精度提高到三阶，构造了三阶CWENO型熵相容算法，并将其应用于若干典型双曲守恒律方程（组）的数值求解中。本文将算法精度进行进一步提高，构造出四阶高分辨率熵相容算法，并将该算法应用于若干典型问题的数值求解中。数值结果表明：新算法计算结果正确，且保留了原有三阶熵相容算法的优点，新算法的分辨率比三阶熵相容算法的分辨率高。
3结语
针对典型的一维双曲守恒律方程（组）的数值求解问题，本文构造了四阶CWENO型熵相容算法，并将新算法应用于若干问题的数值求解当中。通过对所得结果的比较与分析，所得结论如下：
1）新算法所得数值结果正确；
2）新算法不仅可以处理Roe型格式不能处理的静态激波问题，而且保留了Roe型格式能准确捕捉激波的特点；
3）新算法可以避免强稀疏波问题中的膨胀激波产生；
4）新算法比三阶CWENO型熵相容算法分辨率高。
新算法在空间方向离散时引入了四阶CWENO重构，时间方向采用半离散方式，该算法易于编程实现。
参考文献：
OSHER S. Riemann solvers， the entropy condition， and difference approximations [J]. SIAM Journal on Numerical Analysis
， 1984， 21（2）：217-235.
TADMOR E. Numerical viscosity and the entropy condition for conservative difference schemes [J]. Mathematics of Computation， 1984， 43（168）：369-381.
[3]TADMOR E. The numerical viscosity of entropy stable schemes for systems of conservation laws [J]. Mathematics of Computation， 1987， 49（179）：91-103.
[4
[5]IAIL F， ROE PL. Affordable， entropyconsistent Euler flux functions II： entropy production at shocks [J]. Journal of Computational Physics， 2009， 228（15）：5410-5436.
[6]IAIL F. Towards a reliablde prediction of shocks in hyperbolic flow： resolving carbuncles with entropy and vorticity control [D]. Ann Arbor， Michigan： University of Michigan， 2006.
[7]FJORDHOLM US， MISHRA S， TADMOR E. Entropy stable ENO scheme [R]. Zürich： Eidgenssische Technische Hochschule Zürich， 2011.
[8]FJORDHOLM US， MISHRA S， TADMOR E. Arbitrarily highorder accurate entropy stable essentially nonoscillatory schemes for systems of conservation laws [J]. SIAM Journal on Numerical Analysis， 2012， 50（2）：544-573.
[9]郑素佩，封建湖，刘彩侠. 二维双曲守恒律标量方程的三阶CWENO型熵相容算法[J]. 计算机应用，2012，32（10）：2745-2747.
[10]LEVY D， PUPPO G， RUSSO G. A third order central WENO scheme for 2D conservation laws [J]. Applied Numerical Mathematics， 2000， 33（1/2/3/4）：407-414.
[11]LEVY D， PUPPO G， RUSSO G. A fourthorder central WENO scheme for multidimensional hyperbolic systems of conservation laws [J]. SIAM Journal on Scientific Computing， 2002， 24（2）：480-506.
[12]KURGANOV A， NOELLE S， PETROVA G. Semidiscrete centralupwind schemes for hyperbolic conservation laws and HamiltonJacobi equations [J]. SIAM Journal on Scientific Computing， 2001， 23（3）：707-740.
[13]罗力. 求解双曲守恒律方程的熵稳定格式研究[D]. 西安：长安大学， 2011.
针对一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题，提出了一种四阶高分辨率熵相容算法。新算法时间方向采用半离散方式，空间方向应用四阶中心加权基本无振荡（CWENO）重构方法，数值通量引入Iail通量函数，将新的四阶算法应用于静态激波问题、激波管问题以及强稀疏波问题的数值求解中，并将所得结果同准确解以及已有算法所得结果进行了分析与比较。数值结果表明：新算法计算结果正确、分辨率高，能够准确捕捉激波及稀疏波，并能有效避免膨胀激波的产生。新算法适用于准确解决一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题。
关键词： 双曲守恒律方程；半离散方法；四阶格式；优化龙格库塔法
：A
Tadmor首次提出了熵守恒数值求解格式，但这种算法只能用于求解连续性问题，在处理间断问题时会因为总熵不耗散而出现严重的数值振荡。Tadmor[3]还提出了熵稳定算法，该算法可以用于连续问题与间断问题的数值求解，但该算法在捕捉激波与接触间断时不够精确（总熵不能恰当耗散达到熵相容）。Iail等[4-8]基于能够准确捕捉间断的Roe算法，从物理概念本身出发，构造出相应的熵相容算法，通过参数调节，实现对若干问题的准确求解。为叙述问题的方便，本文称该类算法为Iail熵相容算法。该类算法保留了原有Roe算法准确捕捉间断的优势，且避免了Roe算法在解决强稀疏波问题时出现的膨胀激波现象以及求解二维Euler方程组问题时出现的“红斑”现象。但该类算法在空间方向只有一阶精度，分辨率低。
鉴于此，作者在文献[9]中引入三阶中心基本无振荡（Central Weighted Essentially NonOscillatory， CWENO）型重构法[10]将Iail熵相容算法的精度提高到三阶，构造了三阶CWENO型熵相容算法，并将其应用于若干典型双曲守恒律方程（组）的数值求解中。本文将算法精度进行进一步提高，构造出四阶高分辨率熵相容算法，并将该算法应用于若干典型问题的数值求解中。数值结果表明：新算法计算结果正确，且保留了原有三阶熵相容算法的优点，新算法的分辨率比三阶熵相容算法的分辨率高。
3结语
针对典型的一维双曲守恒律方程（组）的数值求解问题，本文构造了四阶CWENO型熵相容算法，并将新算法应用于若干问题的数值求解当中。通过对所得结果的比较与分析，所得结论如下：
1）新算法所得数值结果正确；
2）新算法不仅可以处理Roe型格式不能处理的静态激波问题，而且保留了Roe型格式能准确捕捉激波的特点；
3）新算法可以避免强稀疏波问题中的膨胀激波产生；
4）新算法比三阶CWENO型熵相容算法分辨率高。
新算法在空间方向离散时引入了四阶CWENO重构，时间方向采用半离散方式，该算法易于编程实现。
参考文献：
OSHER S. Riemann solvers， the entropy condition， and difference approximations [J]. SIAM Journal on Numerical Analysis
， 1984， 21（2）：217-235.
TADMOR E. Numerical viscosity and the entropy condition for conservative difference schemes [J]. Mathematics of Computation， 1984， 43（168）：369-381.
[3]TADMOR E. The numerical viscosity of entropy stable schemes for systems of conservation laws [J]. Mathematics of Computation， 1987， 49（179）：91-103.
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源于：科技论文写作www.udooo.com
]MOHAMMED AN， IAIL F. Study of an entropyconsistent NierStokes flux[J]. International Journal of Computational FluidDynamics， 2013， 27（1）：1-14.[5]IAIL F， ROE PL. Affordable， entropyconsistent Euler flux functions II： entropy production at shocks [J]. Journal of Computational Physics， 2009， 228（15）：5410-5436.
[6]IAIL F. Towards a reliablde prediction of shocks in hyperbolic flow： resolving carbuncles with entropy and vorticity control [D]. Ann Arbor， Michigan： University of Michigan， 2006.
[7]FJORDHOLM US， MISHRA S， TADMOR E. Entropy stable ENO scheme [R]. Zürich： Eidgenssische Technische Hochschule Zürich， 2011.
[8]FJORDHOLM US， MISHRA S， TADMOR E. Arbitrarily highorder accurate entropy stable essentially nonoscillatory schemes for systems of conservation laws [J]. SIAM Journal on Numerical Analysis， 2012， 50（2）：544-573.
[9]郑素佩，封建湖，刘彩侠. 二维双曲守恒律标量方程的三阶CWENO型熵相容算法[J]. 计算机应用，2012，32（10）：2745-2747.
[10]LEVY D， PUPPO G， RUSSO G. A third order central WENO scheme for 2D conservation laws [J]. Applied Numerical Mathematics， 2000， 33（1/2/3/4）：407-414.
[11]LEVY D， PUPPO G， RUSSO G. A fourthorder central WENO scheme for multidimensional hyperbolic systems of conservation laws [J]. SIAM Journal on Scientific Computing， 2002， 24（2）：480-506.
[12]KURGANOV A， NOELLE S， PETROVA G. Semidiscrete centralupwind schemes for hyperbolic conservation laws and HamiltonJacobi equations [J]. SIAM Journal on Scientific Computing， 2001， 23（3）：707-740.
[13]罗力. 求解双曲守恒律方程的熵稳定格式研究[D]. 西安：长安大学， 2011.