函数思想方法在中学数学解题中应用

函数是数集之间的一种特殊映射，反映了事物内部的数量特征和制约关系，纵观整个中学数学内容，函数的思想就如一根红线把中学数学的各个分支紧紧地连在一起，构成有机的知识网络。
函数思想方法就是运用函数的有关性质，解决函数的某些问题；或以运动和变化的观点，分析和研究具体问题的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来加以研究，从而使问题获得解决；或对于一些从形式上看是非函数的问题，但经过适当的数学变换或构造，使这一类非函数的问题转化为函数的形式并运用函数的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决。
在解数学题中，以函数作为主导，结合具体函数性质，可以使很多数学问题化难为易，化繁为简，下面根据不同内容分类进行讨论。

一、以函数为工具，实现函数思想在方程问题中的运用

函数与方程有着内在的联系，可以说方程是函数的一个局部，而函数则包括方程的全部内涵，因此用函数的思想方法来解决方程问题往往是一种很有效的方法。
例1 解方程3x+4x=5x。
思路分析：显然知道x=2是方程的一个根，但它还有没有其他的根就很难分析了。
将方程变形为：(35)x+(45)x=1。
令：f(x)=(35)x+(45)x，由于(35)x，(45)x均是单调递减函数，则f(x)也是单调递减的，又易知x>2时，f(x)<1;x<2时，f(x)>1。
所以方程仅有一个解x=2。

二、以函数为桥梁，实现函数思想在不等式问题中的应用

由于函数反映变量之间的相互关系，由它的整体性，自然可反映变量间的不等式情况，因此，不等式问题可看成函数问题的另一局部，利用函数思想方法能更深入了解不等式问题的本质。
例2 在锐角△ABC中，求证：
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC。
思路分析：读者大概都有过用三角式的复杂变形来证明此不等式的经历，那是不得要领的途径，如果我们抓住三角形三个角的三角函数间的关系来思考，就容易得其解。
由于A,B,C均为锐角，故B+C=π－A>π2B>π2－C，由正弦函数在(－π2,π2)内是单调递增函数可知：sinB>sin(π2－C)=cosC；
同理可证：sinC>cosA,sinA>cosB。
三式相加，即得所证。

三、以函数为背景，实现函数思想在数列问题中的应用

数列可以看做定义在正整数集N+或N+的子集上的一种特殊函数，通项公式即函数的解析式。因此，把研究函数的方法，以及函数的有关性质用于研究数列，会对数列的概念、通项、等差数列与等比数列的单调性、数列的最值等概念理解得更加深刻。如等差数列{an}中：
（1）d=an－amn－m，公差d的几何意义就是坐标平面内表示等差数列各项的点所在直线的斜率；
（2）对于求和公式Sn，Sn=na1+n(n－1)2d，我们可以把它整理为Sn=12dn2+(a1－d2)n。当公差d≠0时，这是关于n的一个一元二次函数。
例3 已知等差数列{an}中，ar=s,as=r，求as+r。
思路分析：这里可以利用等差数列的公差d的几何意义（直线的斜率）直接给出答案：
ar=s,as=r，则：d=ar－asr－s=s－rr－s=－1。
an=ar+(n－r)(－1)ar+s=s+s(－1)=0。

四、以函数为工具，实现函数思想在复数问题中的应用

由于复数表示形式的多样性，使复数知识沟通了代数、三角和几何之间的内在联系，有关复数x+yi的辐角和模的范围问题常与正、余弦函数或变量x,y联系在一起，可利用变量的函数来求解。
五、借助函数的意识，实

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现函数思想在实际问题中的运用
在实际的经济活动中，操作、经营和决策者要考虑怎样才能以最低的成本、最短的时间获取最大的效益，这类问题在数学上称为最优化问题，研究这类问题往往需要我们对问题的有关信息和数据进行分析，加工，选择某种可控制的因数作为变量，建立恰当的函数模型的有效分析成为解题不可少的环节。因此在这类问题中我们经分析设法先将具体问题列出其函数关系式，再利用函数的有关性质，使这类问题顺利地得到解决。例如：典型函数模型：y=ax+b（ab≠0）应从研究其定义域，值域，单调性，奇偶性，最值及至作出图形，全面认清此函数模型的特征，才能灵活地应用于解决实际问题。
以上是我对函数思想在中学数学解题中的应用的部分总结，它主要是根据函数的思想在中学数学中的地位，函数的性质及图象来应用到解题中来的。这些解题方法是我们在全面了解函数的基础上的产物。当然函数的应用非常广泛，例如：函数思想在解析几何中的应用；函数思想在函数值与角的转化中的应用等等，这值得我们进一步讨论与学习。
（作者单位：湖北省麻城）