本站原创一、 案例背景
在日常的数学教学中，经常听刚说完课的老师说:“现在的学生什么也不会，明明讲过很多遍的题目，一变数值或问题，又卡住了，唉！越来越不会教学了”.学生则经常向老师诉苦:“本来这个题目我懂了，但题目一变又不会了”.究其原因，主要有教师的教学方式，方法，学生的领悟内化能力，教师的启发诱导，题目的灵活多变等各方面的因素，其中教师的教学方式方法是最为关键的.在课堂上教师要避免“满堂灌”，使学生一直处于被动的接受状态，没有发言，表现的机会，这样的教学效率肯定不高.学生的数学学习不能仅限于接受，记忆，模仿，联系，要引导学生主动探索，动手实践，合作交流，阅读自学等学习形式，教师应让学生去体验，去探索，去感悟，还学生一个：“思考探究的课堂”.二、 案例回放
师: 同学们，我们看这样的一个探究题：（人教版课表实验教材《数学》八年级上13.2轴对称变换）如图（1），要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短.
请同学们讨论一下.（本题是以基本几何图形为背景，主要考查轴对称变换的基本概念和基本应用，以及在图形变换过程中对基本图形的识别）.
3分钟以后同学们纷纷举手
生1：找出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l相交于点P，即点P就是所求.
师：请你把图形做出来，再给大家解释一下这样做的依据好吗？（生1去黑板作图）
生1：由图（2）可知直线l是线段AA′的垂直平分线，所以PA=PA′即PA′+PB=PA+PB，据“两点之间线段最短”，此时点P一定满足“到A、B两点的距离之和”最短.
师:非常好！本题实质就是已知直线l及l同侧两点A、B，要在l上找一点P，使PA+PB最小，利用轴对称性来解决，这是一个基本的数学模型，在实际生活中有广泛的应用.同学们，如果我把这个题目变一下呢？
如图（3）：“要在燃气管道上修建两个泵站M、N分别向A、B两镇供气泵站修建在管道的什么地方，可使所用的输气管道线AM+MN+NB最短，且M、N两站间的距离为1000m？”请同学们讨论（这时学生来了兴趣，有的在沉思，有的还迫不及待的作图，有的在激烈的争论，不一会班上一位成绩中等的同学举手.）
生2：我认为还是作A点关于直线l的对称点A′连接A′B，交直线l与M在直线l上截取MN=1000m，即M、N就是所求.（下面一片哗然，一部分同学举手赞成，但有部分同学反对老师，这种做法没有依据，老师喊我……）
师：你能说出你的依据吗？
生2…….（笑着摇头）
师：谁有更好的见解吗？自己站起来说一下.
生3：老师我认为求输气管道的最短路线，实际就是求MA+NB的最小值.如图（4），过点B作l1//L，在直线l1上截取BP使BP=1000m，相当于将MN平移至BP的位置，实际上，不论MN 在直线L 上任何位置，四边形PBNM始终都是平行四边形，则有PM=BN，此时，只需MP+MA最小，这样下面求点M就转化为第（1）种情况，作点A关于直线l的对称点C，连接CP交直线l与M ，在M点的右侧直线l上截取MN=1000m，即MN就是所求.（教室里响起热烈的掌声，向该同学投出了崇拜的目光）
生4：老师，我还有别的想法.
师：请你到黑板上来演示一下好吗？
生4：如图（5）先作点A关于直线L的对称点C，过点C作L2//L，在直线L2上截取CD=MN=1000m.连接CB交直线L于点N，在直线L上N点左侧截取NM=1000m，，得点M即点M就是所求.
师：很好，这个同学在解决本题时，动脑筋去思考了，同学们，你能验证他的作法正确吗？在上题的基础上，同学们很快验证了学生4的做法是正确的.
师：同学们，这两个同学的解法虽然不同，一个是先平移再作轴对称，一个先作轴对称，再平移，但他们的实质是相同的.利用数学作图中最基本的模型，通过几何图形的平移，轴对称的变换，紧扣“两点之间线段最短”这个不变量，实现解题思路的正迁移.（看到同学们对此问题已经掌握，解决了，我趁热打铁拿出九年级数学导学案《等腰三角形的性质和判定》的最后一题.）
师：同学们，你能利用学过的知识解决这一问题吗？如图（6）村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸L1//L2，现在要架设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址如何选择，才能使A村到B村的路程最近.请同学们先讨论一下.
很多同学在前面例题的基础上，短时间内就解决了这问题.
三、 分析与反思
(一) 分析
要确定例2中线段的问题，是在例1 中确定的位置的基础上，通过线段的平移，将求线段的问题转化为求点的问题，体现的是一种思路上的延续.这样降低了起点，延缓了坡度，提高了学生探究学习的兴趣.通常情况下，研究几何图形的基本思路，关键是探寻“变化过程中的规律性”，解决的一般方法是“先定性，后定量”本节课例题就是一个很好的例子.(二) 反思
数学教学本身就是思维的教学.波利亚说过数学教育“应给学生发现事物的机会”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”.新课程提倡采用“创设情境——数学建模——观察联想——猜想证明”的探究式学习方式，应该说，从“创设情境”到“数学建模”是一个非常重要的过程，在这个过程中，教师不能把自己的想法强灌给学生，而是放手让学生经历自主探索的过程，通过教学活动让学生参与教学过程，发展他们的思维探究能力.“摘桃子”是教师在教学设计时最常用的比喻，很多人都了解.它说明教学过程的基本特征是它的层次性，这种层次性经常表现为一系列的梯度，而梯度的“潜在”距离往往能左右训练的效果.距离太远，学生会断了念头，距离太近，学生就会少了胃口.比如，对于一个非常难理解的问题学生没有一定的基础，绞尽脑汁也想不出来，但有的教师还要组织学生直接去探究，挫伤了学生的积极性，其效果当然不好.所以，这就要求教师在设计问题时，要认真考虑学生的实际水平，基于学生的知识起点和思维起点，切实把握好“已知区”“最近发展区”和“未知区”三者之间的距离，只有距离合理，不同层次的学生才能吃到“桃子”，才能得到有效的训练.
探究式教学并非削弱教师的作用，反而对教师提出了更高的要求，教师要适时引导学生在教学相似度检测入挖掘思维的过程，引导学生采用不同的手段去解决数学问题，增强学生的基本数学活动经验.教师要不断地探索、实践、反思，提高自己的教学水平和研究水平，才能在探究式教学中成为优秀的引导者，组织者、设计者、启发者、适时适地运用自己的点睛之笔，引导学生积极主动地探索，创造性地得到解决问题的新思路，新方法，使探究
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式教学真正成为学生高层次思维发展的良好平台.