【摘要】定义域是函数的三要素之一,在解题中稍对函数“定义域”考虑不周、忽视、理解不清,都将导致错误,本文就针对学生出现的常见错误进行分析研究.
【关键词】定义域
函数的定义域对于函数而言是一个不容忽视的“永恒”的话题,它是函数的不可缺少的组成部分.研究函数的性质必须从定义域出发,特别是在解决方程、不等式等问题方面起着重要作用.由于函数本身的抽象性,使得许多同学在解题中常会忽视定义域出现一些错误.
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(1,2]
D.0,1[]2
错解 设f(x)=(x-1)2,g(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2二、概念不清导致的错误
例2 已知f(x)=x2-1,g(x)=x-1,(x>0),
2-x,(x<0),求g[f(x)]的解析式.
错解 由题意,采用代入法,g[f(x)]=x2-2,(x>0),
3-x3,(x<0).
剖析 对函数的概念缺乏理解,此时g(x)中的“x”与“f(x)”的范围必须是一致时,才满足g(x)的定义域,
正解 ①当f(x)<0时,即x2-1<0,所以-1②当f(x)>0时,即x2-1>0,所以x>1或x<-1,所以g[f(x)]=x2-2.
综上:g[f(x)]=x2-2,(x>1或x<-1),
3-x3,(-1
错解 由题意得yx-y=-x2-3,所以x2+yx+3-y=0.因为x∈(1,2],
所以方程有解.所以Δ=y2-4(3-y)≥0,
得y≥2或y≤-6.
又因为x∈(1,2]时,y<0,
所以y≥2(舍去),所以y≤-
正解 y=-x2-3[]x-1=-(x-1)+4[]x-1-2.
令t=x-1∈(0,1],易证t+4[]t在(0,1]为减函数,所以y=-t+4[]t-2在(0,1]为增函数,所以当且仅当x=2时,ymax=-7.
错解 由y=x2知,P=x2+(y-a)2=y+(y-a)2=y2+(1-2a)y+a2.
当y=2a-1[]2时,P取到最小值4a-1[]4.
剖析 上面的解法中正消元的过程中忽视了函数的定义域y≥0.
正解 由y=x2知,P=x2+(y-a)2=y+(y-a)2=y2+(1-2a)y+a2.
①若1-2a≥0,即a≤1[]
②若1-2a<0,即a>1[]2时,当y=2a-1[]2时,P取到最小值4a-1[]4.
【关键词】定义域
函数的定义域对于函数而言是一个不容忽视的“永恒”的话题,它是函数的不可缺少的组成部分.研究函数的性质必须从定义域出发,特别是在解决方程、不等式等问题方面起着重要作用.由于函数本身的抽象性,使得许多同学在解题中常会忽视定义域出现一些错误.
一、等号“=”的取舍
例1 当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2B.(1,2)
C.(1,2]
D.0,1[]2
错解 设f(x)=(x-1)2,g(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2
2-x,(x<0),求g[f(x)]的解析式.
错解 由题意,采用代入法,g[f(x)]=x2-2,(x>0),
3-x3,(x<0).
剖析 对函数的概念缺乏理解,此时g(x)中的“x”与“f(x)”的范围必须是一致时,才满足g(x)的定义域,
正解 ①当f(x)<0时,即x2-1<0,所以-1
综上:g[f(x)]=x2-2,(x>1或x<-1),
3-x3,(-1
三、方法不当导致的错误
例3 求函数y=-x2-3[]x-1在x∈(1,2]的最大值.错解 由题意得yx-y=-x2-3,所以x2+yx+3-y=0.因为x∈(1,2],
所以方程有解.所以Δ=y2-4(3-y)≥0,
得y≥2或y≤-6.
又因为x∈(1,2]时,y<0,
所以y≥2(舍去),所以y≤-
6.所以ymax=-
剖析 本题忽略了验证“=”成立的条件,当y=6时,x=3,而3(1,2].正解 y=-x2-3[]x-1=-(x-1)+4[]x-1-2.
令t=x-1∈(0,1],易证t+4[]t在(0,1]为减函数,所以y=-t+4[]t-2在(0,1]为增函数,所以当且仅当x=2时,ymax=-7.
四、忽视隐含条件导致的错误
例4 已知y=x2,求P=x2+(y-a)2的最小值.错解 由y=x2知,P=x2+(y-a)2=y+(y-a)2=y2+(1-2a)y+a2.
当y=2a-1[]2时,P取到最小值4a-1[]4.
剖析 上面的解法中正消元的过程中忽视了函数的定义域y≥0.
正解 由y=x2知,P=x2+(y-a)2=y+(y-a)2=y2+(1-2a)y+a2.
①若1-2a≥0,即a≤1[]
源于:科技论文写作www.udooo.com
2时,当y=0时,P取到最小值a2.②若1-2a<0,即a>1[]2时,当y=2a-1[]2时,P取到最小值4a-1[]4.