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数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.数形结合通常分为以形解数和以数解形.
例：如果实数x，y满足（x-2）2+y2=3，则■的最大值为（ ）
A.■ B.■ C.■ D.■
分析：待解问题■=■具有直线斜率的形式，可把它看成过定点（0，0）和动点（x，y）的直线斜率k，而x，y满足等式（x-2）2+y2=3，其几何意义就是动点的轨迹是以（2，0）为圆心，■为半径的圆，借助图形可得k的最大值.
解：建立直角坐标系，设动点p（x，y），其中x，y满足等式（x-2）2+y2=3，因而p（x，y）是以A（2，0）为圆心，■为半径的圆上的动点（如图）.过定点（0，0）和动点（x，y）的直线斜率k=■.从上图容易看出，当直线OP与A的上半圆相切时， k可取最大值.设相应的切点为B， 则kmax=■=■=■. 故选D.
例：方程x2+x+a-1=0在区间（-2，2）有2个不等根，求a的取值范围.
分析： 方程可变形为-x2-x+1=a，设f（x）=-x2-x+1（-2解：方程变形为-x2-x+1=a，设f（x）=-x2-x+1（-2二、以数解形
“以数解形”是把几何问题转化为代数问题，经过计算和推理，得到相关的代数结论，从而解决几何问题.
例：如图，过正方形ABCD的顶点C任作一直线与AB、AD的延长线分别交于E、F.求证：AE+AF？叟4AB.
分析：这是“形”的问题，但要直接从“形”入手会很棘手.若将结论变为（AE+AF）2-4AB（AE+AF）？叟0，再从此式的形式上看，联想起一元二次方程根的判别式，从而把“形”的问题转化成“数”的问题来解决.
证：设AB=a，AE=m，AF=n，连结AC.则S△AEF=S△AEC+S△AFC，即■mn=■am+■an，∴mn=a（m+n），设m+n=p，则mn=ap，所以m、n是方程x2-px+ap=0的两根，而m、n为实数，故Δ=p2-4ap？叟0，又p>0，∴p？叟4a，即AE+AF？叟4AB.
我们往往对某些从正面直接求解比较困难的数学问题，通过数形之间的转化，使问题更加清晰，解题过程更加明确，以达到求新、简捷的效果.在利用代数解几何问题或利用几何解代数问题时，有机地把两者结合起来，往往会达到事半功倍.
责任编辑 罗 峰
一、以形解数
“以形解数”是把代数问题转化为几何问题，经过观察和证明，得到相关的几何结论，从而解决代数问题.1.用坐标法解决代数问题
坐标法是通过选择适当的坐标系，建立数与形的对应关系，进行数与形的相互转化，从而实现问题解决的解题方法.例：如果实数x，y满足（x-2）2+y2=3，则■的最大值为（ ）
A.■ B.■ C.■ D.■
分析：待解问题■=■具有直线斜率的形式，可把它看成过定点（0，0）和动点（x，y）的直线斜率k，而x，y满足等式（x-2）2+y2=3，其几何意义就是动点的轨迹是以（2，0）为圆心，■为半径的圆，借助图形可得k的最大值.
解：建立直角坐标系，设动点p（x，y），其中x，y满足等式（x-2）2+y2=3，因而p（x，y）是以A（2，0）为圆心，■为半径的圆上的动点（如图）.过定点（0，0）和动点（x，y）的直线斜率k=■.从上图容易看出，当直线OP与A的上半圆相切时， k可取最大值.设相应的切点为B， 则kmax=■=■=■. 故选D.
2.用图解法解决代数问题
图解法是对数职称论文范文www.udooo.com
量关系进行适当的几何解释，把代数或三角问题转化为几何问题，再利用几何和函数的图像的知识实现的代数、三角问题解决的方法.例：方程x2+x+a-1=0在区间（-2，2）有2个不等根，求a的取值范围.
分析： 方程可变形为-x2-x+1=a，设f（x）=-x2-x+1（-2
例：如图，过正方形ABCD的顶点C任作一直线与AB、AD的延长线分别交于E、F.求证：AE+AF？叟4AB.
分析：这是“形”的问题，但要直接从“形”入手会很棘手.若将结论变为（AE+AF）2-4AB（AE+AF）？叟0，再从此式的形式上看，联想起一元二次方程根的判别式，从而把“形”的问题转化成“数”的问题来解决.
证：设AB=a，AE=m，AF=n，连结AC.则S△AEF=S△AEC+S△AFC，即■mn=■am+■an，∴mn=a（m+n），设m+n=p，则mn=ap，所以m、n是方程x2-px+ap=0的两根，而m、n为实数，故Δ=p2-4ap？叟0，又p>0，∴p？叟4a，即AE+AF？叟4AB.
我们往往对某些从正面直接求解比较困难的数学问题，通过数形之间的转化，使问题更加清晰，解题过程更加明确，以达到求新、简捷的效果.在利用代数解几何问题或利用几何解代数问题时，有机地把两者结合起来，往往会达到事半功倍.
责任编辑 罗 峰