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摘 要： 为了改进BP神经网络进行滚动轴承故障诊断时，网络存在收敛速度慢、易于陷入局部极小点的缺点。应用基于Levenberg?Marquardt法对BP网络进行改进，实现了改进后的BP神经网络结合小波包进行滚动轴承故障诊断的方法。首先，利用小波包多分辨率的特点对滚动轴承的振动信号进行分解和重构，计算各子频带能量并进行归一化，构造特征向量。然后，将所得到的特征向量作为两种BP神经网络的输入，即改进后的BP神经网络和常规的BP神经网络。最后，对两种网络进行训练并测试，结合实验数据验证改进方法的可行性。实验结果表明，改进后的BP神经网络不仅可行，同时提高了收敛速度和诊断的精确度。
关键字： 小波包； BP神经网络； Levenberg?Marquardt； 滚动轴承； 故障诊断
1004?373X（2013）08?0013?04
0 引 言
滚动轴承作为旋转机械设备的重要零部件之一，其运行状态的好坏直接影响着整台机器的正常运作。由于长期的高载荷、高转速、高冲击运转，使得滚动轴承极其容易损坏和发生故障。当故障发生时，小则影响工厂的经济效益，重则伤及工人的生命安全，所以对其进行故障诊断方法的研究具有十分重要意义。
滚动轴承振动信号具有非平稳、突变性的特点。从本质上来看，滚动轴承故障诊断过程就是一个模式分类问题，即通过提取的特征参数来判断轴承当前所处的运行状态。小波分析在时域和频域上都具有表征信号局部特征的能力，小波包分析是从小波分析延伸出来的一种对信号进行更加细致的分析与重构的方法。在小波分析的递推过程中，每次仅对上一次分解的近似系数进行分解，而把上一次分解的细节系数作为计算结果保留，不再进行分解，其缺陷在于高频部分的分辨率不能提高。而小波包的基本方法是在每次分解时不仅对信号的近似系数进行分解，同时也对信号的细节系数进行分解，恰好满足了滚动轴承故障诊断高频带分解至关重要的特点。同时，小波包频带分解提取的特征向量可以很方便的结合神经网络进行故障模式识别，从而达到故障诊断的目的。当前运用于滚动轴承的诊断方法中通常是先利用小波包对振动信号进行分解和重构，再将提取所得的特征向量结合神经网络进行识别与诊断。如文献[3]基于小波包能量法的滚动轴承故障诊断、文献[4]基于小波包分析的滚动轴承的故障诊断方法研究、文献[5]基于小波包和BP神经网络的滚动轴承故障诊断等。通过仔细研究以上文献得知常用的BP（Back Propagation，BP）神经网络虽然具有较强的模式识别能力，但同时存在以下不足：
（1）收敛速度较慢。需要多次迭代才能达到预期的效果，同时随着训练样本的增加，网络性能下降较快；
（2）容易陷入局部极小点。有时网络训练虽然达到了预期的效果，但由于陷入了局部极小，导致所得到的结果不能保证是问题的最优解，所以对于BP神经网络的改进是此类诊断方法的关键。本文采用Levenern?Marquardt法对BP神经网络进行改进，将改进后的BP神经网络应用于滚动轴承的故障诊断当中，通过实验数据验证该改进方法的优越性。
1 基于小波包分解的振动信号特征向量提取
定义子空间[Unj]是函数[un（t）]的闭包空间，从而有[U2nj]是函数[u2n（t）]的闭包空间，并令：
[u2n（t）=2k∈Zh（k）un（2t-k）， u2n+1（t）=2k∈Zg（k）un（2t-k）] （1）
当[n=0]时，直接给出：
[u0（t）=k∈Zh（k）u0（2t-k），u1（t）=k∈Zg（k）u1（2t-k）] （2）
同时，在多分辨率中，[?（t）]和[ψ（t）]满[?（t）=k∈Zh（k）?（2t-k）， ψ（t）=k∈Zg（k）ψ（2t-k）] （3）
通过比较式（2）和式（3）可得出，[u0（t）]和[u1（t）]分别退化为尺度函数[?（t）]和小波基函数[ψ（t）]，因此由式（1）构成的函数系[{u（t）}]称为由基函数[u0（t）=?（t）]确定的正交小波包。
小波包分解算法：
[dj，2nl=kak-2ldj+1k，dj，2n+1l=kbk-2ldj+1k] （4）
小波包重构算法：
[dj+1，nl=khl-2kdj，2nk+gl-2kdj，2n+1k] （5）
为了说明基于L?M法的优越性，在此应用普通的梯度下降BP算法作为比较，其训练函数为traingdx，其他条件不变。二者训练结果如图3和图4所示。从图3中可以看出，基于L?M法的BP网络迭代次数只需要12次，均方误差MSE= 9.187 2×10-4，而图4中基于梯度下降法的BP网络迭代次数需要174次，均方误差MSE=9.997 34×10-4。通过比较得出基于L?M法的BP算法优于梯度下降BP算法。
训练结束以后，将剩下的6组数据分别应用两种BP算法进行测试，测试结果如表2所示。
参考文献
杨国安.机械设备故障诊断实用技术[M].北京：中国石化出版社，2007.
屈梁生，张西宁，沈玉媂.机械故障诊断理论与方法[M].北京：机械工业出版社，2009.
[3] 张军，陆森林，和卫星，等.基于小波包能量法的滚动轴承故障诊断[J].农业机械学报，2007，38（10）：178?181.
[4] 姜娜，纪建伟，齐晓轩，等.基于小波包分析的滚动轴承的故障诊断方法研究[J].浙江农业学报，2012，24（2）：310?313.
[5] 杨勇，程珩，陈法法.基于小波包和BP神经网络的滚动轴承故障诊断[J].煤矿机电，2008（1）：50?52.
[6] 张德丰.Matlab小波分析[M].西安：西安交通大学出版社，2009.
[7] PERCIVAL Donald B， WALDEN Andrew T. Welet ethods for time series analysis [M]. 程正兴，译.北京：机械工业出版社，2006.
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[11] 褚蕾蕾，陈绥阳，周梦.计算智能的数学基础[M].北京：科学出版社，2000.
关键字： 小波包； BP神经网络； Levenberg?Marquardt； 滚动轴承； 故障诊断
1004?373X（2013）08?0013?04
0 引 言
滚动轴承作为旋转机械设备的重要零部件之一，其运行状态的好坏直接影响着整台机器的正常运作。由于长期的高载荷、高转速、高冲击运转，使得滚动轴承极其容易损坏和发生故障。当故障发生时，小则影响工厂的经济效益，重则伤及工人的生命安全，所以对其进行故障诊断方法的研究具有十分重要意义。
滚动轴承振动信号具有非平稳、突变性的特点。从本质上来看，滚动轴承故障诊断过程就是一个模式分类问题，即通过提取的特征参数来判断轴承当前所处的运行状态。小波分析在时域和频域上都具有表征信号局部特征的能力，小波包分析是从小波分析延伸出来的一种对信号进行更加细致的分析与重构的方法。在小波分析的递推过程中，每次仅对上一次分解的近似系数进行分解，而把上一次分解的细节系数作为计算结果保留，不再进行分解，其缺陷在于高频部分的分辨率不能提高。而小波包的基本方法是在每次分解时不仅对信号的近似系数进行分解，同时也对信号的细节系数进行分解，恰好满足了滚动轴承故障诊断高频带分解至关重要的特点。同时，小波包频带分解提取的特征向量可以很方便的结合神经网络进行故障模式识别，从而达到故障诊断的目的。当前运用于滚动轴承的诊断方法中通常是先利用小波包对振动信号进行分解和重构，再将提取所得的特征向量结合神经网络进行识别与诊断。如文献[3]基于小波包能量法的滚动轴承故障诊断、文献[4]基于小波包分析的滚动轴承的故障诊断方法研究、文献[5]基于小波包和BP神经网络的滚动轴承故障诊断等。通过仔细研究以上文献得知常用的BP（Back Propagation，BP）神经网络虽然具有较强的模式识别能力，但同时存在以下不足：
（1）收敛速度较慢。需要多次迭代才能达到预期的效果，同时随着训练样本的增加，网络性能下降较快；
（2）容易陷入局部极小点。有时网络训练虽然达到了预期的效果，但由于陷入了局部极小，导致所得到的结果不能保证是问题的最优解，所以对于BP神经网络的改进是此类诊断方法的关键。本文采用Levenern?Marquardt法对BP神经网络进行改进，将改进后的BP神经网络应用于滚动轴承的故障诊断当中，通过实验数据验证该改进方法的优越性。
1 基于小波包分解的振动信号特征向量提取
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1.1 小波包定义[6]
多分辨率分析中，[L2（R）=⊕j∈ZWj]，表明多分辨率分析是按照不同的尺度因子[j]把Hilbert空间[L2（R）]分解为所有子空间[Wj（j∈Z）]的正交和，其中[Wj]为小波函数[ψ（t）]的闭包空间。定义子空间[Unj]是函数[un（t）]的闭包空间，从而有[U2nj]是函数[u2n（t）]的闭包空间，并令：
[u2n（t）=2k∈Zh（k）un（2t-k）， u2n+1（t）=2k∈Zg（k）un（2t-k）] （1）
当[n=0]时，直接给出：
[u0（t）=k∈Zh（k）u0（2t-k），u1（t）=k∈Zg（k）u1（2t-k）] （2）
同时，在多分辨率中，[?（t）]和[ψ（t）]满[?（t）=k∈Zh（k）?（2t-k）， ψ（t）=k∈Zg（k）ψ（2t-k）] （3）
通过比较式（2）和式（3）可得出，[u0（t）]和[u1（t）]分别退化为尺度函数[?（t）]和小波基函数[ψ（t）]，因此由式（1）构成的函数系[{u（t）}]称为由基函数[u0（t）=?（t）]确定的正交小波包。
小波包分解算法：
[dj，2nl=kak-2ldj+1k，dj，2n+1l=kbk-2ldj+1k] （4）
小波包重构算法：
[dj+1，nl=khl-2kdj，2nk+gl-2kdj，2n+1k] （5）
1.2 小波包提取能量特征值的方法
设[f（t）]为一时间信号，[fm]为时间信号[f（t）]的最高频率。当对其作[j]层小波包分解时，在第[j]层上将得到[2j]个小波包，即小波包系数为[2j]组，分别为[Sj，i（t）]，其中[i=0，1，…，2j-1]，这些小波包系数所构成的频带[7]为[i2j×fm，i+12j×fm。]以3层小波包分解为例，记[Ej，i=Sj，i（t）2dt=Sj，i2]，由Parse?val定理得知[8]，频域计算信号的能量与时域计算信号的能量相等，由此得知每个频带的能量为[Ej，i]，以[Ej，i]为元素可构造特征向量：[R=Ej，0，Ej，1，…，Ej，2j-1]，令[E=sqrt（i=02j-1Ej，i2）]，归一化后的能量[R′=Ej，0E，Ej，1E，…，Ej，2j-1E]，最后以[R′]作为神经网络的输入进行诊断识别。2 BP神经网络拓扑结构与改进算法2.1 BP神经网络
神经网络的种类很多，其中BP网络己成为目前应用最为广泛的学习算法，据统计近90%的神经网络是基于BP算法的。典型的BP网络由三层结构构成，即：输入层、隐含层和输出层。其中输入神经元个数与故障特征矢量[X=（x1，x2，…，xm）]的数目相等，输出神经元个数与故障类别[Y=（y1，y2，…，yn）]的数目相等，隐含层神经元的个数通常根据实际情况而定。BP神经网络算法流程如图1所示。2.2 BP神经网络的改进算法
常用的BP网络改进算法有附加动量的改进算法、自适应调整参数的改进算法、使用弹性算法的改进算法、基于共轭梯度法的改进算法、基于Levenern?Marquardt（以下简称：L?M）法的改进算法等。通过比较分析，本文采用L?M法对网络进行改进。L?M法实际上是梯度下降法和牛顿法的结合，其基本思想是使每次迭代不再沿着单一的负梯度方向，而是允许误差沿着恶化的方向进行搜索，同时通过在最速梯度下降法和高斯牛顿法之间自适应调整来优化网络权值，使网络能够有效收敛[9]。3 故障诊断实例分析
实验所用的数据来自于美国Case Western Reserve University电气工程实验室[10]，选择的轴承为驱动端SKF6205?2RS深沟球轴承。实验时，轴承的转频为28.82 Hz，采样频率12 kHz，负载功率3 HP，数据长度为8 192点。3.1 提取信号特征向量
选用的数据为无故障时的正常振动信号，外圈、内圈单独发生点蚀故障时的振动信号，共计三种信号。采用db40小波包函数对信号进行3层分解，得到第3层8个频带的小波包分解系数，再计算出每个频带的能量，并进行归一化处理，依次为：[R′=E3，0E，E3，1E，…，E3，7E]，作为神经网络的输入。本文每种信号各取10组数据，共30组数据。限于篇幅有限，在此仅列出一个外圈故障轴承振动信号的正交分解后各频带内重构信号，如图2所示。3.2 BP神经网络构建
根据前节，以正常轴承和外圈、内圈有故障轴承的[R′]作为神经网络的输入，即8个输入层；输出层节点数为3个，分别对应轴承的3种故障状态：（1 0 0）表示正常，（0 1 0）表示外圈故障，（0 0 1）表示内圈故障；由隐含层神经元个数[n2]与输入层神经元个数[n1]的近似关系[11]：[n2=2n1+1]，得到隐含层神经元的个数近似为17个，但并不是固定的，需要经过实际训练的检验来不断调整。隐含层神经元的传递函数选择S型正切函数tansig，输出层神经元的传递函数选择S型对数函数logsig。训练函数选择基于L?M法的BP算法函数trainglm。3.3 网络训练和测试
神经网络的训练过程是一个不断修正的过程，目的在于使得输出误差满足实际要求。从30组数据中随机选取每种信号的8组，共24组数据作为训练样本，部分训练数据如表1所示。为了说明基于L?M法的优越性，在此应用普通的梯度下降BP算法作为比较，其训练函数为traingdx，其他条件不变。二者训练结果如图3和图4所示。从图3中可以看出，基于L?M法的BP网络迭代次数只需要12次，均方误差MSE= 9.187 2×10-4，而图4中基于梯度下降法的BP网络迭代次数需要174次，均方误差MSE=9.997 34×10-4。通过比较得出基于L?M法的BP算法优于梯度下降BP算法。
训练结束以后，将剩下的6组数据分别应用两种BP算法进行测试，测试结果如表2所示。
3.4 结果分析
通过对两种不同的BP算法进行实验，从训练的结果可以得出基于L?M的BP算法的收敛速度明显比基于梯度下降法的BP算法要快很多，迭代次数明显减少，同时均方误差相对较小。从测试的结果可以看出，虽然两种方法都能够对轴承的运行状态做出正确的判断，但基于L?M的BP算法的实际输出更加稳定，更能够正确的表示当前轴承的运行状态。综上所述基于L?M的BP算法对于滚动轴承故障诊断网络收敛速度快，迭代次数少，诊断结果准确率高，符合实际需要。4 结 语
本文构建了小波包和BP神经网络相结合的滚动轴承故障诊断方法。根据滚动轴承振动信号特征，利用小波包对信号分解并重构得到的特征向量作为BP网络的输入神经元，针对普通BP网络存在收敛速度慢、易于陷入局部极小点的缺点，应用L?M法对BP网络进行改进，同时应用实验数据验证了该改进方法的优越性。实验结果表明，基于L?M法的改进BP神经网络实验收敛速度快，迭代次数少，同时诊断结果准确率高，具有较好的应用价值。参考文献
杨国安.机械设备故障诊断实用技术[M].北京：中国石化出版社，2007.
屈梁生，张西宁，沈玉媂.机械故障诊断理论与方法[M].北京：机械工业出版社，2009.
[3] 张军，陆森林，和卫星，等.基于小波包能量法的滚动轴承故障诊断[J].农业机械学报，2007，38（10）：178?181.
[4] 姜娜，纪建伟，齐晓轩，等.基于小波包分析的滚动轴承的故障诊断方法研究[J].浙江农业学报，2012，24（2）：310?313.
[5] 杨勇，程珩，陈法法.基于小波包和BP神经网络的滚动轴承故障诊断[J].煤矿机电，2008（1）：50?52.
[6] 张德丰.Matlab小波分析[M].西安：西安交通大学出版社，2009.
[7] PERCIVAL Donald B， WALDEN Andrew T. Welet ethods for time series analysis [M]. 程正兴，译.北京：机械工业出版社，2006.
[8]
源于：论文格式字体要求www.udooo.com
葛哲学，陈仲生.Matlab时频分析技术及其应用[M].北京：人民邮电出版社，2006.[9] 张德丰.Matlab神经网络应用设计[M].北京：机械工业出版社，2009.
[10] Case Western Reserve University. Bearing data center website： bearing data center seeded fault test data [EB/OL]. [2007?11?27].http：//www/eecs/cwru/edu/laboratory/bearing/.
[11] 褚蕾蕾，陈绥阳，周梦.计算智能的数学基础[M].北京：科学出版社，2000.