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摘要：介绍了主成分分析法的基本思想、基本原理以及计算步骤；运用主成分分析法建立了全定量化的国家助学金综合评定方法。从定量的角度应用SPSS软件对数据进行多元统计分析，然后进行综合排序，并对排序结果进行分析和评价，数据结果显示该方法具有一定的合理性。
关键词：主成分分析；国家助学金；助学点评定
1672-7800（2013）001-0018-03
0引言
自上世纪90年代中期，贫困生（即家庭经济困难的学生）问题一直是困扰政府和高校的一大难题，为了让贫困生顺利完成学业，国家开设了奖学金、国家助学贷款、国家助学金、社会助学金等多元联动资助体系对高校贫困生进行资助。根据新的资助政策的要求，各地各高校根据本地实际情况制定本校的家庭经济困难认定办法。通常各地各高校将家庭经济困难学生大体分为2～3档，分为2档的等级为：一般困难和特别困难；分为3档的等级为：一般困难、比较困难和特别困难。但是由于各地区经济发展水平有差异，并且我国的农村乡土观念、人情关系浓厚，存在有的学生即使不贫困，只要提出请求，还是很容易开出村镇两级贫困生证明的，加之政府部门、高校资助管理部门也很少派人去实地核查，也就加大了高校贫困生认定工作的难度，使得贫困生认定存在了一定的虚检测情况。这种评定方法存在一定程度的主观因素过强、信息不对等和不容易操作等问题。因此，一种更公平、易操作的全定量助学金等级评定方法的研究变得十分重要。
本文主要应用主成分分析法建立了全定量化的助学金等级综合评定方法，并将计算结果与附录数据进行比较，结果显示该方法具有很好的合理性。
1主成分分析
x21
xn1xn2…xnp定义：记x1，x2，…，xp为原变量指标，z1，z2，…，zm，（m≤p）为新变量指标，则：z1=l11x1+l12x2+…+l1pxp
z2=l21x1+l22x2+…+l2pxp
zm=lm1x1+lm2x2+…+lmpxp系数lij的确定原则：
（1）zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互无关；
（2）z1是x1，x2，…，xp的一切线性组合中方差最大者；z2是与z1不相关的x1，x2，…，xp的所有线性组合中方差最大者；……；zm是与z1，z2，…，zm-1都不相关的x1，x2，…，xp的所有线性组合中方差最大者。
则新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xp的第1，第2，…，第m主成分。
r21r22…r2p
rp1rp2…rpp其中rij（i，j=1，2，…，p）为原变量xi与xj的相关系数，rij=rjirij=∑n12k=1（xki-xi-12）（xkj-xj-12）12∑n12k=1（xki-xi-12）2∑n12k=1（xkj-xj-12）2（1）（2）计算特征值和特征向量。
解特征方程|λI-R|=0，常用雅可比法求出特征值，并使其按大小顺序排列λ1≥λ2≥…≥λp≥0；分别求出对应于特征值λi的特征向量ei（i=1，2，…，p），要求‖ei‖=1，即∑p12j=1e2ij=1，其中eij表示向量ei的第j个分量。
（3）计算主成分贡献率及累计贡献率。
贡献率：λi12∑p12k=1λk（i=1，2，…，p），累计贡献率：∑i12k=1λk12∑p12k=1λk（i=1，2，…，p）（2）一般取累计贡献率达85%～95%的特征值λ1，λ2，…，λm所对应的第1个，第2个，…，第m个主成分。
（4）计算主成分载荷。lij=P（zi，xj）=λ1eij（i=1，2，…，p）（3）（5）计算各主成分的得分。z=z11z12…z1m
z21z22…z2m
zn1zn2…znm（4）2实例分析
本文研究所使用的数据来自于广西区首届研究生数学建模竞赛试题，运用SPSS软件进行数据处理。
表1变量的定义
变量名12变量描述x112班级评定困难等级，1=特困生，2=一般困难x212家庭年收入（元）x312月消费金额（元）x412出身因素，0=孤儿，1=单亲，2=双亲x512家庭成员突遇疾病、变故或自然灾害因素，0=无，1=有x612是否有国家贷款，0=无，1=有x712其它家庭成员上学情况，0=0人，1=1人，2=2人，……x812家庭主要劳动力工作情况，0=父母无劳动能力，1=无固定工作，2=务农对数据进行描述性统计分析，计算出他们的最大值、最小值、均值和方差，如表2所示。
表2描述统计量
12N12Minimus12Maximum12Mean12Std.Deviationx112238121.00122.00121.5252120.50042x212238120.001220000.00125795.4958123938.76337x31223812100.0012600.0012303.949612115.94207x412238120.00122.00121.9286120.27394x512238120.00121.00120.50841250098x612238120.00121.00120.7017120.45848x712238120.00123.00120.6513120.79570x812238120.00122.00121.3235120.76332ValidN
关键词：主成分分析；国家助学金；助学点评定
1672-7800（2013）001-0018-03
0引言
自上世纪90年代中期，贫困生（即家庭经济困难的学生）问题一直是困扰政府和高校的一大难题，为了让贫困生顺利完成学业，国家开设了奖学金、国家助学贷款、国家助学金、社会助学金等多元联动资助体系对高校贫困生进行资助。根据新的资助政策的要求，各地各高校根据本地实际情况制定本校的家庭经济困难认定办法。通常各地各高校将家庭经济困难学生大体分为2～3档，分为2档的等级为：一般困难和特别困难；分为3档的等级为：一般困难、比较困难和特别困难。但是由于各地区经济发展水平有差异，并且我国的农村乡土观念、人情关系浓厚，存在有的学生即使不贫困，只要提出请求，还是很容易开出村镇两级贫困生证明的，加之政府部门、高校资助管理部门也很少派人去实地核查，也就加大了高校贫困生认定工作的难度，使得贫困生认定存在了一定的虚检测情况。这种评定方法存在一定程度的主观因素过强、信息不对等和不容易操作等问题。因此，一种更公平、易操作的全定量助学金等级评定方法的研究变得十分重要。
本文主要应用主成分分析法建立了全定量化的助学金等级综合评定方法，并将计算结果与附录数据进行比较，结果显示该方法具有很好的合理性。
1主成分分析
1.1基本思想
主成分分析是多元统计分析中一种重要的方法，其基本思想是通过多个指标的线性组合，将众多的具有交错复杂相关关系的一系列指标归结为少数几个综合指标，既能使各主成分相互独立，舍去重叠的信息，又能更集中更典型地表明研究对象的特征，还能避免大量的重复工作。1.2基本原理
检测定有n个样本，每个样本共有P个变量，构成一个n×p阶的数据矩阵。X=x11x12…x1px21
摘自：学年论文格式www.udooo.com
x22…x2pxn1xn2…xnp定义：记x1，x2，…，xp为原变量指标，z1，z2，…，zm，（m≤p）为新变量指标，则：z1=l11x1+l12x2+…+l1pxp
z2=l21x1+l22x2+…+l2pxp
zm=lm1x1+lm2x2+…+lmpxp系数lij的确定原则：
（1）zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互无关；
（2）z1是x1，x2，…，xp的一切线性组合中方差最大者；z2是与z1不相关的x1，x2，…，xp的所有线性组合中方差最大者；……；zm是与z1，z2，…，zm-1都不相关的x1，x2，…，xp的所有线性组合中方差最大者。
则新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xp的第1，第2，…，第m主成分。
1.3计算步骤
（1）计算相关系数矩阵。R=r11r12…r1pr21r22…r2p
rp1rp2…rpp其中rij（i，j=1，2，…，p）为原变量xi与xj的相关系数，rij=rjirij=∑n12k=1（xki-xi-12）（xkj-xj-12）12∑n12k=1（xki-xi-12）2∑n12k=1（xkj-xj-12）2（1）（2）计算特征值和特征向量。
解特征方程|λI-R|=0，常用雅可比法求出特征值，并使其按大小顺序排列λ1≥λ2≥…≥λp≥0；分别求出对应于特征值λi的特征向量ei（i=1，2，…，p），要求‖ei‖=1，即∑p12j=1e2ij=1，其中eij表示向量ei的第j个分量。
（3）计算主成分贡献率及累计贡献率。
贡献率：λi12∑p12k=1λk（i=1，2，…，p），累计贡献率：∑i12k=1λk12∑p12k=1λk（i=1，2，…，p）（2）一般取累计贡献率达85%～95%的特征值λ1，λ2，…，λm所对应的第1个，第2个，…，第m个主成分。
（4）计算主成分载荷。lij=P（zi，xj）=λ1eij（i=1，2，…，p）（3）（5）计算各主成分的得分。z=z11z12…z1m
z21z22…z2m
zn1zn2…znm（4）2实例分析
本文研究所使用的数据来自于广西区首届研究生数学建模竞赛试题，运用SPSS软件进行数据处理。
2.1数据处理与分析
由于影响国家助学金评定的因素中定性因素有3个，尤其是贫困原因的描述更是千差万别，没有规范性，主观性判断强。因此，需对定性变量定量化，变量描述如表1。表1变量的定义
变量名12变量描述x112班级评定困难等级，1=特困生，2=一般困难x212家庭年收入（元）x312月消费金额（元）x412出身因素，0=孤儿，1=单亲，2=双亲x512家庭成员突遇疾病、变故或自然灾害因素，0=无，1=有x612是否有国家贷款，0=无，1=有x712其它家庭成员上学情况，0=0人，1=1人，2=2人，……x812家庭主要劳动力工作情况，0=父母无劳动能力，1=无固定工作，2=务农对数据进行描述性统计分析，计算出他们的最大值、最小值、均值和方差，如表2所示。
表2描述统计量
12N12Minimus12Maximum12Mean12Std.Deviationx112238121.00122.00121.5252120.50042x212238120.001220000.00125795.4958123938.76337x31223812100.0012600.0012303.949612115.94207x412238120.00122.00121.9286120.27394x512238120.00121.00120.50841250098x612238120.00121.00120.7017120.45848x712238120.00123.00120.6513120.79570x812238120.00122.00121.3235120.76332ValidN
摘自：本科毕业论文www.udooo.com
源于：论文结论www.udooo.com