变限积分求导公式与其应用

【摘要】本文针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式，给出了学生易于理解和接受的一元函数的证明，并用实例展现了这一公式在微积分及其后继课程中的重要应用，有力说明了向学生介绍这一公式的重要意义。
【关键词】变限积分求导公式极限应用
1674－4810（2012）19－0051－02
一 引言
在微积分及其后继课程中，经常会涉及对变限定积分的求导的运算，其中包括积分上下限含有变量，或者被积函数含有除积分变量之外的变量。对于上下限含有变量，一些教材给出了相应的计算公式，如［1，2］给出了公式（5），但是没有明确的推导过程，学生很难接受，导致用时有困难。对于被积函数含有除积分变量之外的变量时，却没有明确的公式，一些教材或参考书给出了一些计算技巧。例如，
，被积函数含有变量x求导数时，一般可以采用
分项求导的办法， ，
再用公式求导。又如， ，采用换元u＝x
－t，，再应用公式（5）
求导。利用分项或换元的办法，虽然可以解决一部分变限求导问题，但并不能解决任何形式的变限定积分的求导，特别是当被积函数含有多个变元而又不能分离变量时，用上面的方法就失效了。又如在解偏微分方程时，经常会遇到现变限多重积分的解，当验证解的正确性时，就涉及变限多重积分的求导，面对这样的积分，学生更是无能为力。例如无界
弦强迫振动问题的解 。这是一个变限
二重积分，显然，上述换元或分项的办法在此失效。在研究动力系统的稳定性时，也会经常遇到变限积分求导的问题，因而我们很有必要为学生提供最为一般的求导公式，并给出学生易于理解和接受的证明方法。本文正是基于这一公式的重要性和其广泛应用，给出了这一公式基于一元函数的证明方法，并给出其应用，以供大家参考。

二、变限定积分求导公式及其证明

变限积分的被积函数涉及二元函数，在此我们利用变量代换将其转换成一元函数，避免了在一元微积分中偏导数的引入，利用一元微积分学知识就证明了变限积分的求导公式，有了证明才能使学生更好地使用这一公式。
定理1：检测设α（x），β（x）在有限区间［a，b］上可微，f（x，t）在区域D＝{（x，t）∶α（x）≤t≤β（x），a≤x≤
b}上连续，且f（x，t）关于x的导数 也在D上连续，
则有下面一般的Leibniz求导公式：
（1）
证明：为了避免在一元微积分中引入二元函数及其偏导
数的概念，不妨记 ，由定积分
的可加性，可以得到：
按照导数的定义，可以得到：
（2）
利用积分中值定理，则可以得到：
其中 ，因而：
（3）
同理可得：
（4）
其中 。由于f（x，t）是一致连续性的，则：
（5）
联立（3）－（5）代入（2），得到：
即是：
由定理1容易得到求导公式：
（6）
（7）

三、在微积分中的应用

显然有了公式（1），任何变限积分的求导都可以很容易地解决，在此我们给出一些例子说明这一公式的优越之处。
第

一、求极限。求 ，其中f有连续的

导数，且f（1）＝0。
解：利用（1）式及罗必塔法则，直接计算如下：
第

二、求函数值的单调区间 的单调

区间与极限。
解：f（x）的定义域为（－∞，+∞），由于
所以f（x）的驻点为x＝0，±1。因此，f（x）的单调增加的区间为（－1，0）及（1，＋∞），单调减少区间为（－∞，－1）及（0，1）。极小值为f（±1）＝0，极大值为f（0）
。
第

三、求定积分（1999研究生入学考题）设函数f（x）

连续，且 ，已知f（1）＝1，求 。
解：令u＝2x－t，则 ，即：
两边关于x求导，由定理1，得到： 。
令x＝1， 。
第

四、求函数值（2007研究生入学考题）检测设函数f（x）

是［0，

源于：查抄袭率硕士毕业论文www.udooo.com

］上的单调函数可导函数，f－1是f的反函数，且下
述条件的f（x）满足：
（6）
解：对（6）两边关于x求导，则得到：
即是， 。
因此， 。
因为f（0）＝0，则C＝0，因而f（x）＝In（cosx＋sinx）。

四、在数学物理方程中的应用

在数学物理方程课程中，很多解是多重分，有时不免需要验证解的正确性，这就自然涉及到对变限多重定积分的求导，显然用分项或变量代换的办法是行不通的，如果用定理1给出的公式，求导就不成问题。下面我们给出一个例
子加以说明。例如，验证 是下
列无限长杆热传导问题 的解。并求定积
分 。
解：对u（x，t）关于t求偏导数，可得：
利用公式（1）关于x求偏导数，计算可得：
代入方程，结论显然成立。其次通过令φ（x）＝x3，u（x，t）＝x3＋6xt，a＝1代入解的表达式，立即可得：
参考文献
［1］华中科技大学课题组.微积分［M］.武汉：华中科技大学出版社，2009
［2］华中科技大学微积分课题组.微积分学同步辅导［M］.武汉：华中科技大学出版社，2009
〔责任编辑：王以富〕