摘要：计量逻辑学以基本概念的程度化入手,系统地引入了公式的真度论述和公式间的相似度论述,定义了公式间的伪距离,最终建立起了逻辑度量空间(Logic Metric Space,简称LMS)论述.由于有了度量工具,在LMS中就可以探讨给定的逻辑论述r的发散度和相容度不足,可以探讨各种类型的近似推理不足,等等.当前LMS论述已以经典的二值命题逻辑推广到了多种n值命题逻辑之中(n2).值得注意的是,作为度量空间,LMS自身结构的探讨似尚未展开.最近已见到以反射变换入手探讨经典LMS结构的探讨,虽然只是起步性的探讨,但却是一个新的开端.本论文将上面陈述的探讨进行推广,进一步探讨经典LMS中的仿射变换不足,得到了包括真度不变性和相似度不变性在内的较为系统的探讨成果.同时,本论文还将经典LMS中的反射变换论述推广到了(?)*-Lindenbaum代数之中.另一方面,由于布尔函数论述既是经典LMS中真度论述的基础,又是学中常用的基本工具,可见计量逻辑学与学之间有着着紧密的联系.基于这种思想,本论文在LMS中先后引入了线性逻辑公式、对称逻辑公式和雪崩逻辑公式的概念,并以它们在整个空间中的分布得出了各类公式稀疏程度的描述,这又可反馈到学中,使得以事学探讨的学者对是否利用相应的函数传送有更全面的掌握.此外,本论文还将布尔函数的Shannon展开式的巧妙思想运用到了Lukasiewicz n值逻辑系统Ln中,给出了MaNaughton函数的表示策略,解决了m元n值MaN-aughton函数的计数不足.全文共分五章.第一章介绍了有关计量逻辑学与学中布尔函数的基本知识,这些知识是阅读后续内容所必须的,是概述性的.第二章首先将反射变换的概念引入到连续值逻辑系统￡*之中,探讨了￡*逻辑度量空间中反射变换的性质.然后将仿射变换的概念引入到经典逻辑系统之中,定义了公式集F(S)到F(S)上的仿射变换φ,证明了该仿射变换φ：F(S)→F(S)是F(S)上的自同构变换.而且公式的真度,公式间的相似度与伪距离在仿射变换下保持不变.在经典逻辑系统中,反射变换是仿射变换的特殊情形,即,仿射变换是公式集F(S)到F(S)上的一类更广泛的变换.第三章基于线性布尔函数的概念,在经典逻辑度量空间中提出了线性逻辑公式的概念,并给出了n元线性逻辑公式的构造策略.探讨了反射变换下线性逻辑公式的性质,证明了所有线性逻辑公式的真度等于1/2,而全体n元逻辑公式的真度共有2n+1种之多,这表明线性逻辑公式在全体逻辑公式之中的分布很稀疏.这就以计量学的角度验证了线性布尔函数的结构比较简单.而且,我们可以通过线性布尔函数作乘积得到一类代数次数等于k的布尔函数,这类布尔函数所对应的逻辑公式的真度为1/2k,这表明这类代数次数等于k的非线性布尔函数所对应的逻辑公式在全体逻辑公式之中的分布也很稀疏,可在设计中利用该类布尔函数.第四章将符号化计算树逻辑中的Shannon展开式做了推广,在n值Lukasiewicz逻辑系统L。中,探讨了由逻辑公式导出的n值McNaughton函数的展开式,给出了m元n值McNaughton函数的准析取范式和准合取范式.在此基础上,给出了m元n值McNaughton函数的计数不足.并在n值Lukasiewicz逻辑系统Ln中,给出了m元逻辑公式的构造策略及其逻辑等价类的计数不足.在弄清楚了多值McNaughton函数的构造策略和结构之后,我们将对称布尔函数的概念引入到多值McNaughton函数之中,提出了对称三值McNaughton函数的概念.在此基础上,在三值Lukasiewicz逻辑系统L3中,提出了对称逻辑公式和准对称逻辑公式的定义.探讨了在逻辑等价作用下对称逻辑公式的性质,比较了L3和经典逻辑系统L中对称逻辑公式之间的联系及其计数不足,证明了n元对称逻辑公式占全体n元逻辑公式的比例随n的增大而趋向于零,而且全体对称逻辑公式的真度之集在[0,1]中稠密.但是,全体对称逻辑公式之集又是逻辑度量空间中的无处稠密集.最后,给出了L3中对称逻辑公式的构造策略.第五章将学中满足严格雪崩准则的布尔函数的概念引入到计量逻辑学之中,提出了雪崩逻辑公式的概念,并探讨了雪崩逻辑公式的真度及其性质.证明了雪崩逻辑公式A的真度T(A)满足条件1/4≤τ(A)≤3/4特别是证明了至少含有三个原子公式的雪崩逻辑公式的真度之集为H1={k/2n-1|2n-3≤k≤3×2n-3;n-3,4,…},或者用学的术语来说,n(n≥3)元雪崩布尔函数的汉明重量之集为w(n)={ω(f(x))|2n…2≤ω(f(x))≤3×2n-2且ω(F(x))为偶数},这就排除了不满足此条件的n元布尔函数的个数计算,以而在一定程度上简化了雪崩布尔函数的计数不足.然后,我们通过引入函数ξ建立了n(n≥3)元雪崩布尔函数个数的表达式,并给出了不同真度的雪崩逻辑公式的构造策略.探讨了k阶雪崩逻辑公式与反射变换下k阶雪崩逻辑公式的性质.最后,探讨了满足严格雪崩准则的布尔函数的计数不足,得到了满足严格雪崩准则的n元布尔函数个数的上界和下界.关键词：计量逻辑学论文学论文布尔函数论文Shannon展开式论文McNaughton函数论文仿射变换论文线性逻辑公式论文对称逻辑公式论文雪崩逻辑公式论文
摘要3-5
Abstract5-10
前言10-14
第1章 计量逻辑学与学中布尔函数的介绍14-26
1.1 计量逻辑学基本论述14-19
1.1.1 二值命题逻辑系统L中的计量逻辑论述14-17
1.1.2 多值Lukasiewicz命题逻辑系统L_n与Luk中的计量逻辑论述17-19
1.1.3 多值R_0—逻辑系统￡_n~*与￡~*中的计量逻辑论述19
1.2学中的布尔函数介绍19-26
1.2.1 布尔函数的表示19-22
1.2.2 几类特殊的布尔函数22-26
第2章 计量逻辑学中的反射变换和仿射变换26-46
2.1 ￡~*计量逻辑中的反射变换26-33
2.1.1 ￡~*中的反射变换26-29
2.1.2 反射变换下的近似推理29-31
2.1.3 ￡~*-Lindenbaum代数上的反射变换31-33
2.2 经典计量逻辑中的仿射变换33-46
2.2.1 (0,1)—矩阵和(0,1)—行列式33-38
2.2.2 (⊥,Τ)—矩阵38-41
2.2.3 L中的仿射变换41-46
第3章 计量逻辑学中的线性逻辑公式46-58
3.1 经典逻辑度量空间中的线性逻辑公式46-51
3.2 一类代数次数等于k的布尔函数所对应的逻辑公式51-58
第4章 计量逻辑学中的对称逻辑公式58-106
4.1 Shannon展开式的推广及其在多值逻辑公式范式表示中的运用59-86
4.1.1 Shannon展开式的推广59-62
4.1.2 n值Mcnaughton函数的范式表示62-76
4.1.3 n值Mcnaughton函数的计数不足76-83
4.1.4 L?中逻辑公式的构造及其逻辑等价类的计数不足83-86
4.2 三值计量逻辑学中的对称逻辑公式86-106
第5章 计量逻辑学中的雪崩逻辑公式106-120
5.1 经典逻辑系统中的雪崩逻辑公式106-117
5.2 学中雪崩布尔函数个数的上界与下界估计117-120
总结120-122
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