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摘要：分数阶微积分是传统的整数阶微积分概念的推广，尽管它的历史几乎和整数阶微积分一样长，但是由于缺乏相关运用，在其开始阶段进展十分缓慢.众所周知.对于解释和模拟许多运用科学领域的动力学历程，经典的微积分都是一个强有力的工具，但是实验和现实告诉我们.在自然界的反常动力学中有许多复杂系统无法用经典的整数阶微积分模型来刻画.最近，探讨者们发现分数阶微积分算子与整数阶微积分算子不同，具有非局部性，非常适合用来描述现实世界中具有遗传性质的材料及随机模型.由此，分数阶微积分迎来了其蓬勃进展阶段.如今，它在物理.数学，机械工程，生物，电子工程，制约论述和金融等领域发挥越来越重要的作用.由于分数阶微积分的非局部性，运用分数阶微积分论述将经典的整数阶扩散方程与波动方程推广到时间和空间的分数阶情形，建立分数阶扩散方程，这种方程能够很好地解释物理中的奇异扩散现象，由此分数阶微分方程成为描述奇异扩散模型的强有力工具,如粘弹性材料的本构联系,多孔介质渗流现象及分形媒介中的随机游走模型.以现实不足中抽象出分数阶微分方程之后，探讨如何求解这类不足成为近几年分数阶微分方程运用的一个重要领域.本论文主要由以下几个部分组成：第一章,我们概要地介绍了分数阶奇异扩散方程有关不足的历史进展、探讨进展及前人在处理这类方程时所用到的策略,以而引出了本论文所要解决的不足.同时陈述了本论文的主要结果.第二章,我们介绍了分数阶微积分的一些预备知识,给出了几种常用的分数阶微积分定义以及它们的一些基本性质,例如：Riemann-Liouville型分数阶微积分,Caputo型分数阶微积分和Grunwald-Letnikov型分数阶微积分等,同时还列出他们之间的联系.接着介绍了在求解分数阶微分方程时常用的两个函数Mittag-Leffler函数和Fox-H函数及它们的一些性质.最后介绍了连续时间随机游走模型与分数阶微分方程之间的联系.第三章,我们介绍了一类分数阶微分方程剖析解求法,运用Laplace变换,Fourier变换,Melpn变换及Green函数法,求得一类具有源汇项的广义分数阶奇异扩散方程的剖析解.其中方程的扩散项、外力项、及源汇项具有不同阶的时间分数阶导数.我们发现这类方程的解与正态分布相比具有尖峰厚尾性质.第四章，我们证明了由Jurnarie提出的分数阶泰勒公式，为求解分数阶微分方程的数值解及精度估计提供了非常有利的工具.第五章，我们探讨分数阶奇异扩散方程的随机表示.首先证明了用来描述非均匀土壤溶质运移模型的修正对流-弥散方程的随机表示是一个复合随机历程.其中次级历程为一个Levy历程的首达时，而主历程是由布朗运动驱动的带外力项的随机历程.然后，我们将由布朗运动驱动的随机历程推广到由Levy历程驱动的情形.证明了该随机历程是空间分数阶微分方程的随机表示.接着，我们部分解决了一个由Magdziarz在其文章中提出的不足，即给出了外力项和扩散项都与时间、空间都有关的的分数阶Fokker-Planck方程的随机表示.最后，利用随机表示，构建模拟算法，画出了这些分数阶微分方程解的图像.第六章,由于与正态分布相比,分数阶扩散方程的解具有尖峰厚尾性，由此我们检测设股票服以次扩散的几何布朗运动，在此基础上得到了期权定价公式，其高于经典Black-Scholes模型得到的，最后反推出“微笑的”隐含波动率.所得到的结果不仅比经典Black-Scholes的期权定价模型更符合实际历史数据，也很好地解释了一些经济现象.关键词：分数阶微积分论文奇异扩散模型论文剖析解论文分数阶泰勒公式论文随机表示论文蒙特卡洛论文期权定价论文
摘要5-7
ABSTRACT7-10
第一章 引言10-22
1.1 不足的背景10-15
1.2 主要结果15-22
第二章 预备知识22-32
2.1 分数阶微积分论述及其性质22-26
2.2 Mittage-Leffler(M-L)函数及其性质26
2.3 Fox-H函数及其性质26-29
2.4 连续时间随机游走模型29-32
第三章 一类分数阶奇异扩散方程的剖析解32-38
3.1 介绍32
3.2 不同情况下方程的精确解32-38
第四章 分数阶泰勒公式38-46
4.1 介绍38-39
4.2 Jumarie泰勒公式的证明39-43
4.3 实例及性质43-46
第五章 分数阶奇异扩散方程的随机表示46-74
5.1 介绍46
5.2 平稳Levy历程首达时的性质46-51
5.3 修正的对流-弥散方程的随机表示51-55
5.4 空间分数阶扩散方程的随机表示55-58
5.5 数值模拟58-62
5.6 具有依赖于时间外力项的分数阶扩散方程的随机表示62-74
第六章 分数阶奇异扩散方程在金融中的运用74-84
6.1 介绍74-76
6.2 次扩散下的期权定价76-84