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何谓高效课堂？学术界讨论颇多，但尚未有统一的界定。高效课堂是相对于“低效”课堂教学而言的，数学高效课堂就是在单位时间内高效率、高质量地完成教学任务；实现新课程提出的三个教学目标；教学理念更新，教学方法恰当，真正做到促进学生协调发展。本文结合教学实例，谈谈高中数学教学高效课堂的价值取向，以抛砖引玉。
前苏联教育家N.R.加涅尔和M.H.斯卡特金说：“没有任何一节课能解决教学的所有任务。每一节课都是课题、课程、教学科目的一部分。因此，极为重要的是经常注意到：一节课在教学科目体系中占有什么样的地位；同课程的教学、思想教育任务相联系，一节课的教学目的是什么。一节课应当是课题、章节、教程的逻辑单元。”
例如，“弧度制”（苏教版必修4—
②直接给出1弧度角的意义，介绍弧度制；
③角度制与弧度制的互化，例题与练习。
笔者认为弧度制是学生比较难以理解的概念，如此教学设计，学生是心存疑虑，只能“糊涂”接受，教学的三个目标也只能是完成了一个——知识与技能目标。
就本节课而言，作如下探索。
（1）应让师生了解弧度制概念的引入背景
为什么要使用弧度制？角度制是六十进位制，如果将分、秒化成度很不方便。十八世纪初随着西方工业、科学发展的需要和微积分产生，数学家们提出了用弧度来度量角。十九世纪正式确定弧度制为度量角的一种方法，二十世纪初才引入我国。
（2）应让学生体验弧度制概念发生、发展过程
①特例感悟：
由学生熟知的圆的周长公式：l=2？仔r，知=2？仔是一个实数。这就是说，圆周角是360°，对应的周长l与半径r之比是一个实数。
设圆的半径为r，圆心角对应的弧长为l，由=2？仔，我们可以得：
②一般思考
当圆心角？琢确定以后，不难证明弧长与半径之比和半径的大小无关，这种一一对应关系，启示我们可用弧长与半径的比值来度量角的大小。
③抽象概念
当圆心角所对的弧长等于半径，即=1时，对应的圆心角的大小，定义为1弧度角。
这样，顺理成章地完成了弧度概念建构，更让学生学会了从特殊到一般的思考问题的方法，培养了学生建构知识的能力。
一节课的教学目标，要注意到教材内容的难易程度，学生的认知现状、思维水平、能力发展等诸多因素，甚至不同类型的学生应当达到的目标。
例如，“立体几何初步”（苏教版必修2）的教学。
学生在小学、初中已经学习了简单的几何体，如正方体、长方体、圆柱、圆锥等知识，但真正研究立体几何还是在高中。学生学习立体几何入门难是不争的事实，教师应有清醒的认识，必须深入了解学生学习的现状，采取有效的教学措施，才能保证教学目标的实现。
立体几何入门难，难在哪里？学生初学立体几何需要过“三关”。
（1）识图、绘图关。学生看不懂直观图，画不好空间图形，这是空间想象力缺乏。教师应通过教具、举教室空间的实例、学生熟悉的长方体等，来进行线线、线面、面面关系的教学；介绍画直观图的技能，空间图形与平面图形的类比等，就能较快地提高学生的空间想象力。
（2）语言关。高中立体几何增加了集合符号语言在推理中的应用，学生推理表述中遇到困难，要注意加强这方面的技能训练。
（3）推理关。学习立体几何初始，可用公理、定理很少，还常用到反证法、同一法，要证存在性、唯一性等，这些在初中都未学过，给学生掌握推理方法也造成很大困难。
上述“三关”就是学生初学立体几何的学情，只有我们了解到学生发展的现状，教学方法得当，才能实现立体几何教学的高效课堂。
例如，在高三复习“向量的线性运算”时，教师选用下面的例题，看师生如何暴露思维过程。
例：如图1，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：=（+）。
师：看条件，中点怎么用？
生：+=，=，
还可以作为三角形的中线来用。
师：看目标，可作变换吗？
生：只要证明2=+.
师：下面大家探究问题证明的思路（学生活动）。
生1：如图1，连接EB、EC，则有
=+=++，
=+=++，
两式相加即可得证。
生1：要把根号去掉，并将等式转化为不等式。
师：思路可行，怎样去掉根号呢？
生2：用平方法（这是教师的预设）。
生3：用平方法太繁，可用换元法（教师未想到换元法）。
师：大家开始行动吧！尝试你的解法。
（学生解题活动，教师巡视，几分钟后教师提问。）
生3：设=a≥0，=b≥0，
由已知等式知，a+b=x+y，①
且x=a2—1，y=b2—3，代入已知等式得
a2+b2—4=a+b。②
∴（a+b）2—（a+b）—4=2ab≤2（）2=，
即（a+b）2—2（a+b）—8≤0，
∵a+b≥0，∴0≤a+b≤4，由①知，（x+y）max=4。
师：用换元法去根号是一种好方法，解题中运用转化思想、整体思想，用基本不等式把等式转化为不等式求解。
生4：我把式②看成是圆的方程来求解。
师：（惊喜之感！）说说你的解法。
生4：由②式得圆M方程：
（a—）2+（b—）2=（a≥0，b≥0）
画出圆形如图7，
又x+y=a+b=a2+b2—4，
要求a+b的最大值，只要求a2+b2的最大值，即求圆弧上的点（a，b）到原点O的距离平方的最大值。连接OM交圆于点N，点N到原点距离最大。
∴ON=OM+MN=+=2，
故x+y=a+b的最大值为（2）2—4=4。
师：妙！利用数形结合很有创新。有谁用平方法去根号的？
生5：我用平方法去根号。
由已知等式得x+y=+（x+1≥0，y+3≥0），
∴（x+y）2=x+y+4+2≤x+y+4+（x+1）+（y+3），
即（x+y）2—2（x+y）—8≤0，解得—2≤x+y≤4，
故（x+y）max=4。
师：移项后用平方法去根号，再用基本不等式将等式转为不等式，这是去根号的通法，但换元法很有新意，数形结合法很有创意。
从上述教学片断可以看出：对学生而言，充分调动了学习积极性，挖掘了学习潜力，发展了创新能力；对教师而言，“预设”是必要的，“生成”更可贵，对教
新课标、新课程已实施多年，课堂教学的现状并不令人乐观，主要表现为：新课程理念尚未形成，传统教学观点根深蒂固；由于升学的压力，迫使教师减少课堂学生活动的时间和空间；教师自身水平和能力有限，不能使课堂成为有效建构知识和自然生成的课堂。由此可见，提高教师的教学素养，是实现数学高效课堂的必由之路。
那么，数学教师如何提升自己的素养呢？笔者认为：一是与时俱进，认真学习数学新课标，转变教育观点，丰富教育理念。站得高才能望得远，才能高屋建瓴，才能更好地把握数学教学精髓，有效践履高效课堂。二是努力将理论理念化，将理念方法化，将方法行为化，将行为个性化，将个性高效化，使理论学习和教学实践水融，既成长了自己，又发展了学生。三是认真做好课堂诊断和教学反思工作。课堂教学永无止境，只有及时做到把脉课堂，调整、优化教学策略；把教学反思常态化，经常反思教材理解的深刻度、教学预设的可行度、教学生成的自然度、教学方法的优化度、教学目标的达成度，才能不断提高教师自身的教学素养。第四，积极投身教育科研。将在追求高效课堂过程中发现的问题进行梳理、归纳，把共性的问题作为课题来系统研究，通过深度研究来促进高效课堂研究的科学性、学术性、普适性和可推广性，这个过程是优化高效课堂的过程，更是教师自身成长、发展和自我完善的过程。
（责任编辑刘永庆）
一、数学高效课堂应是教学目标明确的课堂
新课程将数学教学目标确定为知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面。因此，数学高效课堂需要明确的教学目标指引。前苏联教育家N.R.加涅尔和M.H.斯卡特金说：“没有任何一节课能解决教学的所有任务。每一节课都是课题、课程、教学科目的一部分。因此，极为重要的是经常注意到：一节课在教学科目体系中占有什么样的地位；同课程的教学、思想教育任务相联系，一节课的教学目的是什么。一节课应当是课题、章节、教程的逻辑单元。”
1.认真研读课标、教材是高效课堂的前提
课标是国家规定的课程教学目标的纲要，教材是根据课标供教师教学和学生学习的依据。认真钻研课标和教材，必须根据教学的内容，将教学目标的三项要求具体化和细微化，它是源于：论文的标准格式www.udooo.com
实现高效课堂的前提。例如，“弧度制”（苏教版必修4—
1.2节）第一课时的教学。对概念的建构和初步应用，教师大都按如下程序教学。
①复习角度制和1度角的定义；②直接给出1弧度角的意义，介绍弧度制；
③角度制与弧度制的互化，例题与练习。
笔者认为弧度制是学生比较难以理解的概念，如此教学设计，学生是心存疑虑，只能“糊涂”接受，教学的三个目标也只能是完成了一个——知识与技能目标。
就本节课而言，作如下探索。
（1）应让师生了解弧度制概念的引入背景
为什么要使用弧度制？角度制是六十进位制，如果将分、秒化成度很不方便。十八世纪初随着西方工业、科学发展的需要和微积分产生，数学家们提出了用弧度来度量角。十九世纪正式确定弧度制为度量角的一种方法，二十世纪初才引入我国。
（2）应让学生体验弧度制概念发生、发展过程
①特例感悟：
由学生熟知的圆的周长公式：l=2？仔r，知=2？仔是一个实数。这就是说，圆周角是360°，对应的周长l与半径r之比是一个实数。
设圆的半径为r，圆心角对应的弧长为l，由=2？仔，我们可以得：
②一般思考
当圆心角？琢确定以后，不难证明弧长与半径之比和半径的大小无关，这种一一对应关系，启示我们可用弧长与半径的比值来度量角的大小。
③抽象概念
当圆心角所对的弧长等于半径，即=1时，对应的圆心角的大小，定义为1弧度角。
这样，顺理成章地完成了弧度概念建构，更让学生学会了从特殊到一般的思考问题的方法，培养了学生建构知识的能力。
2.深入了解学生发展的现状是高效课堂的保障
教材有两重性，一是学科性；二是教育性。数学学科必须反映数学的抽象性、系统性、严密性和实用性；同时要考虑到课程标准规定的教学目标、内容设置、年龄特征、认识水平和教育作用。一节课的教学目标，要注意到教材内容的难易程度，学生的认知现状、思维水平、能力发展等诸多因素，甚至不同类型的学生应当达到的目标。
例如，“立体几何初步”（苏教版必修2）的教学。
学生在小学、初中已经学习了简单的几何体，如正方体、长方体、圆柱、圆锥等知识，但真正研究立体几何还是在高中。学生学习立体几何入门难是不争的事实，教师应有清醒的认识，必须深入了解学生学习的现状，采取有效的教学措施，才能保证教学目标的实现。
立体几何入门难，难在哪里？学生初学立体几何需要过“三关”。
（1）识图、绘图关。学生看不懂直观图，画不好空间图形，这是空间想象力缺乏。教师应通过教具、举教室空间的实例、学生熟悉的长方体等，来进行线线、线面、面面关系的教学；介绍画直观图的技能，空间图形与平面图形的类比等，就能较快地提高学生的空间想象力。
（2）语言关。高中立体几何增加了集合符号语言在推理中的应用，学生推理表述中遇到困难，要注意加强这方面的技能训练。
（3）推理关。学习立体几何初始，可用公理、定理很少，还常用到反证法、同一法，要证存在性、唯一性等，这些在初中都未学过，给学生掌握推理方法也造成很大困难。
上述“三关”就是学生初学立体几何的学情，只有我们了解到学生发展的现状，教学方法得当，才能实现立体几何教学的高效课堂。
二、数学高效课堂应是凸显数学活动过程的课堂
在教学论中，数学教学界定为：“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。”数学教学大纲又指出：“让学生感受、理解知识的产生和发展过程。”“过程与方法”又是新课标确定的教学目标之一、由此可见，数学教学更应关注数学的活动过程。
1.数学活动过程中要充分暴露思维过程
数学的教育价值是以知识为载体的素质教育，而提高学生的素质包括多方面的内容，其中最重要的是学生的思维品质和思维能力。因此，数学教学中的师生双边活动过程，应把暴露数学思维过程作为高效课堂的指导原则。例如，在高三复习“向量的线性运算”时，教师选用下面的例题，看师生如何暴露思维过程。
例：如图1，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：=（+）。
师：看条件，中点怎么用？
生：+=，=，
还可以作为三角形的中线来用。
师：看目标，可作变换吗？
生：只要证明2=+.
师：下面大家探究问题证明的思路（学生活动）。
生1：如图1，连接EB、EC，则有
=+=++，
=+=++，
两式相加即可得证。
摘自：毕业论文模板www.udooo.com
（学生考虑片刻后，教师提问。）生1：要把根号去掉，并将等式转化为不等式。
师：思路可行，怎样去掉根号呢？
生2：用平方法（这是教师的预设）。
生3：用平方法太繁，可用换元法（教师未想到换元法）。
师：大家开始行动吧！尝试你的解法。
（学生解题活动，教师巡视，几分钟后教师提问。）
生3：设=a≥0，=b≥0，
由已知等式知，a+b=x+y，①
且x=a2—1，y=b2—3，代入已知等式得
a2+b2—4=a+b。②
∴（a+b）2—（a+b）—4=2ab≤2（）2=，
即（a+b）2—2（a+b）—8≤0，
∵a+b≥0，∴0≤a+b≤4，由①知，（x+y）max=4。
师：用换元法去根号是一种好方法，解题中运用转化思想、整体思想，用基本不等式把等式转化为不等式求解。
生4：我把式②看成是圆的方程来求解。
师：（惊喜之感！）说说你的解法。
生4：由②式得圆M方程：
（a—）2+（b—）2=（a≥0，b≥0）
画出圆形如图7，
又x+y=a+b=a2+b2—4，
要求a+b的最大值，只要求a2+b2的最大值，即求圆弧上的点（a，b）到原点O的距离平方的最大值。连接OM交圆于点N，点N到原点距离最大。
∴ON=OM+MN=+=2，
故x+y=a+b的最大值为（2）2—4=4。
师：妙！利用数形结合很有创新。有谁用平方法去根号的？
生5：我用平方法去根号。
由已知等式得x+y=+（x+1≥0，y+3≥0），
∴（x+y）2=x+y+4+2≤x+y+4+（x+1）+（y+3），
即（x+y）2—2（x+y）—8≤0，解得—2≤x+y≤4，
故（x+y）max=4。
师：移项后用平方法去根号，再用基本不等式将等式转为不等式，这是去根号的通法，但换元法很有新意，数形结合法很有创意。
从上述教学片断可以看出：对学生而言，充分调动了学习积极性，挖掘了学习潜力，发展了创新能力；对教师而言，“预设”是必要的，“生成”更可贵，对教
源于：论文的基本格式www.udooo.com
师的教学基本功是最好检验。四、数学高效课堂应是师生共同发展的课堂
新课程的一个基本理念是以人为本，突出学生的发展。而新课程的实施又必将为教师的成长和发展提供一个很好的平台和机会，这对我们教师来说，既是一种机遇，又是一个挑战。新课标、新课程已实施多年，课堂教学的现状并不令人乐观，主要表现为：新课程理念尚未形成，传统教学观点根深蒂固；由于升学的压力，迫使教师减少课堂学生活动的时间和空间；教师自身水平和能力有限，不能使课堂成为有效建构知识和自然生成的课堂。由此可见，提高教师的教学素养，是实现数学高效课堂的必由之路。
那么，数学教师如何提升自己的素养呢？笔者认为：一是与时俱进，认真学习数学新课标，转变教育观点，丰富教育理念。站得高才能望得远，才能高屋建瓴，才能更好地把握数学教学精髓，有效践履高效课堂。二是努力将理论理念化，将理念方法化，将方法行为化，将行为个性化，将个性高效化，使理论学习和教学实践水融，既成长了自己，又发展了学生。三是认真做好课堂诊断和教学反思工作。课堂教学永无止境，只有及时做到把脉课堂，调整、优化教学策略；把教学反思常态化，经常反思教材理解的深刻度、教学预设的可行度、教学生成的自然度、教学方法的优化度、教学目标的达成度，才能不断提高教师自身的教学素养。第四，积极投身教育科研。将在追求高效课堂过程中发现的问题进行梳理、归纳，把共性的问题作为课题来系统研究，通过深度研究来促进高效课堂研究的科学性、学术性、普适性和可推广性，这个过程是优化高效课堂的过程，更是教师自身成长、发展和自我完善的过程。
（责任编辑刘永庆）